Plano complexo
O plano complexo, também chamado de Plano de Argand-Gauss ou Diagrama de Argand, é um plano cartesiano usado para representar números complexos geometricamente. Nele, a parte imaginária de um número complexo é representada pela ordenada e a parte real pela abcissa. Desta forma um número complexo z como 3 - 5i pode ser representado através do ponto (3, -5) no plano de Argand-Gauss.
Imagem: LorenzoCV · BY-SA · Openverse
Temos na figura ao lado um exemplo do plano. Nele, pode-se observar representados os principais elementos de um número complexo:
Imagem: Marcio Cabral de Moura · BY-NC-ND · Openverse
O plano de Argand-Gauss é um acessório útil pois através dele podemos algebrizar vetores bidimensionais. Devido à semelhança entre as operações com ambos elementos, esta algebrização é de grande utilidade em diversos campos da Matemática, Engenharia e Física.
A geometria com complexos é comumente utilizada para facilitar as contas para resolução de problemas de números complexos. Um complexo na sua forma algébrica z = a + b i , {\displaystyle z=a+bi,} possuindo parte real a {\displaystyle a} e parte imaginária b . {\displaystyle b.} Desta forma um número complexo z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} pode ser interpretado como um ponto no plano de Argand-Gauss, onde pode ser trabalhado da mesma forma que no plano cartesiano, tendo seus afixos (pontos ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} ) em a {\displaystyle a} como x {\displaystyle x} e b {\displaystyle b} como y . {\displaystyle y.} Um complexo pode ter associado nele um vetor de origem na origem ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} e extremidade em ( a , b ) . {\displaystyle (a,b).} Na figura ao lado direito, o ponto no circulo é o afixo de z {\displaystyle z} com as coordenadas ( a , b ) . {\displaystyle (a,b).}
Imagem: ER's Eyes - Our planet is beautiful. · BY-NC-SA · Openverse
Para que se possa provar a maior agilidade nos cálculos ao se fazer uso do sistema polar de representação dos números complexos, basta compararmos as quantidades de operações necessárias em cada sistema de representação, até que se atinja o resultado esperado.
Multiplicação
Para multiplicarmos dois números complexos, ambos representados de forma algébrica, precisamos realizar as seguintes operações: Para realizar a operação ( a ⋅ b {\displaystyle a\cdot b} ), faremos uso da propriedade distributiva da multiplicação, obtendo: Sabemos que pela definição que i 2 = ( − 1 ) {\displaystyle i^{2}=(-1)} , dessa forma: Obtendo-se assim, o vetor resultante da multiplicação. No entanto, fazendo primeiro a conversão para a forma polar e posteriormente efetuando a multiplicação, teremos um processo muito mais rápido. A multiplicação de vetores descritos dessa maneira ocorre de forma mais simples, pois basta multiplicar a parte real de ambos vetores e somar os seus ângulos correspondentes.
Divisão
Para a divisão de dois números complexos, ambos representados de forma algébrica, precisamos realizar as seguintes operações: Para realizar a operação ( a b ) {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)} , multiplicaremos numerador e denominador pelo vetor b com sinal da parte imaginaria multiplicado de (-1): aplicando a propriedade distributiva da multiplicação, Usando a definição i 2 = ( − 1 ) {\displaystyle i^{2}=(-1)} , Sendo esse o vetor resultante da divisão. Como já foi provado para o processo de multiplicação, a operação se torna muito mais fácil de ser resolvida se reescrevermos os vetores a e b de forma polar. Isso porque, na divisão de complexos polares, basta dividir os módulos e subtrair os ângulos dos vetores, da forma:
Imagem: Portuguese_eyes · BY-SA · Openverse
Conforme já mencionado anteriormente, uma das principais aplicações da escrita de números complexos na forma polar, está diretamente vinculada ao estudo da eletricidade. Um exemplo claro disso, é o seu uso para o cálculo da impedância de um circuito elétrico ou para a construção de um fasor.
