Dualidade de Pontryagin
Na matemática, mais especificadamente na análise harmônica e na teoria dos grupos topológicos, a dualidade de Pontryagin explica as propriedades gerais da transformada de Fourier em grupos abelianos locais, como os reais, os circulares, ou grupos cíclicos finitos. O teorema da dualidade de Pontryagina em si, afirma que grupos abelianos localmente compactos se identificam naturalmente com seu bi-dual.
A dualidade de Pontryagin coloca em um contexto unificado um número de observações sobre funções no domínio real ou em um grupo abeliano finito. A teoria, introduzida por Lev Pontryagin e combinada com a medida de Haar, introduzida por John von Neumann, André Weil e outros, depende da teoria dos grupos duais de um grupo abeliano localmente compacto. Tal fato é análogo ao espaço vetorial dual de um espaço vetorial: um espaço vetorial de dimensão finita V e seu espaço vetorial dual V* não são naturalmente isomórficos, mas a álgebra do endomorfismo (álgebra matricial) de um é isomórfica ao oposto da álgebra do endomorfismo do outro : E n d ( V ) ≅ E n d ( V ∗ ) o p {\displaystyle End(V)\cong End(V^{*})^{op}} , pela transposta. Similarmente, um grupo G {\displaystyle G} e seu grupo dual G ^ {\displaystyle {\widehat {G}}} não são em geral isomórficos, mas seus anéis de endomorfismo são opostos um ao outro: E n d ( G ) ≅ E n d ( G ^ ) o p {\displaystyle End(G)\cong End({\widehat {G}})^{op}} . Mais categoricamente, isso não é somente um isomorfismo das álgebras do endomorfismo, mas uma equivalência contravariante das categorias.
Um grupo topológico é um grupo localmente compacto se o espaço topológico subjacente é localmente compacto e Hausdorff; um grupo topológico é abeliano se o grupo subjacente é abeliano. Exemplos de grupos abelianos localmente compactos incluem os grupos abelianos finitos, os inteiros (ambos para a topologia discreta, que é também induzida pela métrica usual), os números reais, o grupo circular T(ambos com sua topologia métrica usual), e também os números p-ádicos (com sua topologia p-ádica usual). Para um grupo abeliano localmente compacto G {\displaystyle G} , o dual de Pontryagin é o grupo G ^ {\displaystyle {\widehat {G}}} dos contínuos homomorfismos de grupo de G {\displaystyle G} para o grupo circular T. Ou seja, G ^ := H o m ( G , T ) {\displaystyle {\widehat {G}}:=Hom(G,T)} . O dual de Pontryagin G ^ {\displaystyle {\widehat {G}}} é usualmente dotado da topologia dada pela convergência uniforme em conjuntos compactos (que é a topologia induzida pela topologia compacto-aberta no espaço de todas as funções contínuas de G {\displaystyle G} para T {\displaystyle T} .
