Equação paramétrica
Equações paramétricas são um conjunto de equações que expressam um conjunto de quantidades como funções explícitas de número de variáveis independentes, conhecidas como parâmetros. Por exemplo, enquanto a equação de um círculo em coordenadas cartesianas é: um conjunto de equações paramétricas para o círculo pode ser:
As equações paramétricas são frequentemente utilizadas na cinemática, por exemplo, utilizamos as equações paramétricas para descrever movimentos de corpos, a posição de uma partícula pode ser descrita como: r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) , {\displaystyle r(t)=(x(t),y(t),z(t)),} r ( t ) = x ( t ) i → + y ( t ) j → + z ( t ) k → . {\displaystyle r(t)=x(t){\overset {\rightarrow }{i}}+y(t){\overset {\rightarrow }{j}}+z(t){\overset {\rightarrow }{k}}.} A velocidade, portanto, pode ser encontrada através da derivada dessa fórmula: r ′ ( t ) = ( x ′ ( t ) + y ′ ( t ) + z ′ ( t ) ) {\displaystyle r'(t)=(x'(t)+y'(t)+z'(t))} r ′ ( t ) = x ′ ( t ) i → + y ′ ( t ) j → + z ′ ( t ) k → {\displaystyle r'(t)=x'(t){\overset {\rightarrow }{i}}+y'(t){\overset {\rightarrow }{j}}+z'(t){\overset {\rightarrow }{k}}} Consequentemente, a aceleração é dada pela derivada da velocidade ou pela derivada segunda da posição, isto é:
Parábola
A equação de uma parábola não parametrizada é f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} a qual pode ser parametrizada utilizando x=t, para um intervalo − ∞ < t < ∞ . {\displaystyle -\infty <t<\infty .} como: x = t {\displaystyle x=t} e y = t 2 {\displaystyle y=t^{2}}
Círculo
A equação do círculo de raio igual a 1 comumente utilizada é: x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} para este mesmo círculo podemos escrever a seguinte equação parametrizada, para o intervalo de 0 ≤ t ≤ 2 π : {\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi :} ( x , y ) = ( c o s ( t ) , s e n ( t ) ) {\displaystyle (x,y)=(cos(t),sen(t))} ou se preferirmos podemos escrever na forma: x = c o s ( t ) {\displaystyle x=cos(t)} e y = s e n ( t ) {\displaystyle y=sen(t)}
Hipérbole
A equação dessa hipérbole no sistema de coordenadas cartesianas é: ( x − h ) 2 a 2 − ( y − k ) 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1} A equação parametrizada de uma hipérbole de abertura leste-oeste pode ser escrita como: x = a sec t + h y = b tan t + k {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sec t+h\\y&=b\tan t+k\end{aligned}}\quad } A equação dessa hipérbole no sistema cartesiano é: ( y − k ) 2 a 2 − ( x − h ) 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {\left(y-k\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(x-h\right)^{2}}{b^{2}}}=1} A equação parametrizada de uma hipérbole de abertura norte-sul pode ser escrita como:
Elipse
A curva no plano cartesiano de uma elipse é: A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 {\displaystyle {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}} com todos os coeficientes reais, sendo que quando os eixos da elipse são paralelos aos eixos coordenados a equação pode ser simplificada para: ( x − h a ) 2 + ( y − k b ) 2 = 1 , {\displaystyle {\displaystyle \left({\frac {x-h}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y-k}{b}}\right)^{2}=1,}} sendo (h,k) o centro da elipse e 'a' e 'b' os semi-eixos da elipse. A equação paramétrica canônica de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos 'a' e 'b' é dada pela seguinte fórmula: x = a c o s ( t ) {\displaystyle x=acos(t)} e y = b s e n ( t ) {\displaystyle y=bsen(t)}
Hélice
A hélice é uma curva tridimensional que combina a rotação em torno de um ponto com o movimento de translação desse mesmo ponto, a parametrização dessa forma tridimensional é dada pela seguinte fórmula em coordenadas cartesianas: x = a cos ( t ) y = a s e n ( t ) z = b t {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos(t)\\y&=a\mathrm {sen} \,(t)\\z&=bt\,\end{aligned}}} Em coordenadas cilíndricas, essas equações são escritas da seguinte forma: r = 1 {\displaystyle {\displaystyle r=1\,}} θ = t {\displaystyle {\displaystyle \theta =t\,}} h = t {\displaystyle {\displaystyle h=t\,}}
