Espaço de Hilbert
Na matemática, um espaço de Hilbert é um espaço com produto interno real ou complexo que é também um espaço métrico completo em relação à métrica induzida pelo produto interno. Ele generaliza a noção de espaço euclidiano para dimensões infinitas. O produto interno, que é o análogo do produto escalar do cálculo vetorial, permite que comprimentos e ângulos sejam definidos. Além disso, a completude significa que existem limites suficientes no espaço para permitir o uso das técnicas do cálculo. Um espaço de Hilbert é um caso especial de um espaço de Banach.
Exemplo motivador: espaço vetorial euclidiano
Um dos exemplos mais familiares de um espaço de Hilbert é o espaço vetorial euclidiano que consiste em vetores tridimensionais, denotado por R 3 {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}} , e equipado com o produto escalar. O produto escalar toma dois vetores x e y, e produz um número real x ⋅ y. Se x e y são representados em coordenadas cartesianas, então o produto escalar é definido por: ( x 1 x 2 x 3 ) ⋅ ( y 1 y 2 y 3 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 . {\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}\,.} O produto escalar satisfaz as propriedades: Uma operação sobre pares de vetores que, tal como o produto escalar, satisfaz estas três propriedades é conhecida como um produto interno (real). Um espaço vetorial equipado com tal produto interno é conhecido como um espaço com produto interno (real). Todo espaço com produto interno de dimensão finita é também um espaço de Hilbert. A característica básica do produto escalar que o conecta com a geometria euclidiana é que ele está relacionado tanto com o comprimento (ou norma) de um vetor, denotado por ‖ x ‖ {\displaystyle \|\mathbf {x} \|} , quanto com o ângulo θ {\displaystyle \theta } entre dois vetores x {\displaystyle \mathbf {x} } e y {\displaystyle \mathbf {y} } através da fórmula x ⋅ y = ‖ x ‖ ‖ y ‖ cos θ . {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|\,\cos \theta \,.}
Definição
Um espaço de Hilbert é um espaço com produto interno real ou complexo que é também um espaço métrico completo em relação à função de distância induzida pelo produto interno. Dizer que um espaço vetorial complexo H é um espaço com produto interno complexo significa que existe um produto interno ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \langle x,y\rangle } associando um número complexo a cada par de elementos x , y {\displaystyle x,y} de H que satisfaz as seguintes propriedades: Segue das propriedades 1 e 2 que um produto interno complexo é antilinear, também chamado de linear conjugado, no seu segundo argumento, significando que ⟨ x , a y 1 + b y 2 ⟩ = a ¯ ⟨ x , y 1 ⟩ + b ¯ ⟨ x , y 2 ⟩ . {\displaystyle \langle x,ay_{1}+by_{2}\rangle ={\bar {a}}\langle x,y_{1}\rangle +{\bar {b}}\langle x,y_{2}\rangle \,.}
Segundo exemplo: espaços de sequências
O espaço de sequências ℓ 2 {\textstyle \ell ^{2}} consiste em todas as sequências infinitas z = (z1, z2, ...) de números complexos tais que a série de suas normas ao quadrado converge: ∑ n = 1 ∞ | z n | 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|z_{n}|^{2}} O produto interno em l2 é definido por: ⟨ z , w ⟩ = ∑ n = 1 ∞ z n w ¯ n , {\displaystyle \langle \mathbf {z} ,\mathbf {w} \rangle =\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}{\overline {w}}_{n}\,,} A série para o produto interno converge como consequência da desigualdade de Cauchy-Schwarz e da convergência assumida das duas séries de normas ao quadrado. A completude do espaço verifica-se desde que, sempre que uma série de elementos de ℓ 2 {\textstyle \ell ^{2}} convirja absolutamente (em norma), então ela convirja para um elemento de ℓ 2 {\textstyle \ell ^{2}} . A prova é elementar na análise matemática, e permite que séries matemáticas de elementos do espaço sejam manipuladas com a mesma facilidade que as séries de números complexos (ou vetores num espaço euclidiano de dimensão finita).
Antes do desenvolvimento dos espaços de Hilbert, outras generalizações dos espaços euclidianos eram conhecidas pelos matemáticos e físicos. Em particular, a ideia de um espaço linear abstrato (espaço vetorial) havia ganhado alguma força no final do século XIX: este é um espaço cujos elementos podem ser somados e multiplicados por escalares (tais como reais ou complexos) sem necessariamente identificar estes elementos com vetores "geométricos", tais como vetores de posição e de momento em sistemas físicos. Outros objetos estudados pelos matemáticos na viragem do século XX, em particular os espaços de sequências (incluindo séries) e os espaços de funções, podem ser naturalmente pensados como espaços lineares. As funções, por exemplo, podem ser somadas ou multiplicadas por escalares constantes, e estas operações obedecem às leis algébricas satisfeitas pela adição e pela multiplicação escalar de vetores espaciais.
Espaços de Lebesgue
Os espaços de Lebesgue são espaços de funções associados a espaços de medida (X, M, μ), onde X é um conjunto, M é uma σ-álgebra de subconjuntos de X, e μ é uma medida contavelmente aditiva em M. Seja L2(X, μ) o espaço daquelas funções mensuráveis de valor complexo em X para as quais o integral de Lebesgue do quadrado do valor absoluto da função é finito, isto é, para uma função f em L2(X, μ), ∫ X | f | 2 d μ < ∞ , {\displaystyle \int _{X}|f|^{2}\,\mathrm {d} \mu <\infty \,,} e onde as funções são identificadas se e somente se diferirem apenas num conjunto de medida nula. O produto interno das funções f e g em L2(X, μ) é então definido como ⟨ f , g ⟩ = ∫ X f ( t ) g ( t ) ¯ d μ ( t ) {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} \mu (t)} ou ⟨ f , g ⟩ = ∫ X f ( t ) ¯ g ( t ) d μ ( t ) , {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}{\overline {f(t)}}g(t)\,\mathrm {d} \mu (t)\,,}
Espaços de Sobolev
Os espaços de Sobolev, denotados por Hs ou Ws,2, são espaços de Hilbert. Estes são um tipo especial de espaço de funções no qual a diferenciação pode ser realizada, mas que (diferentemente de outros espaços de Banach como os espaços de Hölder) suportam a estrutura de um produto interno. Porque a diferenciação é permitida, os espaços de Sobolev são um cenário conveniente para a teoria das equações diferenciais parciais. Eles também formam a base da teoria dos métodos diretos no cálculo de variações. Para s um inteiro não negativo e Ω ⊂ Rn, o espaço de Sobolev Hs(Ω) contém funções L2 cujas derivadas fracas de ordem até s também são L2. O produto interno em Hs(Ω) é ⟨ f , g ⟩ = ∫ Ω f ( x ) g ¯ ( x ) d x + ∫ Ω D f ( x ) ⋅ D g ¯ ( x ) d x + ⋯ + ∫ Ω D s f ( x ) ⋅ D s g ¯ ( x ) d x {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\Omega }Df(x)\cdot D{\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x+\cdots +\int _{\Omega }D^{s}f(x)\cdot D^{s}{\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x} onde o ponto indica o produto escalar no espaço euclidiano das derivadas parciais de cada ordem. Os espaços de Sobolev também podem ser definidos quando s não é um inteiro.
Espaços de funções holomorfas
Os espaços de Hardy são espaços de funções, que surgem na análise complexa e na análise harmônica, cujos elementos são certas funções holomorfas num domínio complexo. Seja U o disco unitário no plano complexo. Então o espaço de Hardy H2(U) é definido como o espaço de funções holomorfas f em U de tal modo que as médias M r ( f ) = 1 2 π ∫ 0 2 π | f ( r e i θ ) | 2 d θ {\displaystyle M_{r}(f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|f{\bigl (}re^{i\theta }{\bigr )}\right|^{2}\,\mathrm {d} \theta } permanecem limitadas para r < 1. A norma neste espaço de Hardy é definida por ‖ f ‖ 2 = lim r → 1 M r ( f ) . {\displaystyle \left\|f\right\|_{2}=\lim _{r\to 1}{\sqrt {M_{r}(f)}}\,.}
Muitas das aplicações dos espaços de Hilbert exploram o fato de que os espaços de Hilbert suportam generalizações de conceitos geométricos simples, como projeção e mudança de base, a partir do seu cenário usual de dimensão finita. Em particular, a teoria espetral de operadores lineares autoadjuntos contínuos num espaço de Hilbert generaliza a decomposição espetral usual de uma matriz, e isto frequentemente desempenha um papel importante nas aplicações da teoria a outras áreas da matemática e da física. Qualquer cor física verdadeira pode ser representada por uma combinação de cores espetrais puras. Como as cores físicas podem ser compostas por qualquer número de cores espetrais, o espaço das cores físicas pode ser adequadamente representado por um espaço de Hilbert sobre as cores espetrais. Os seres humanos possuem três tipos de células cone para a perceção das cores, pelo que as cores percetíveis podem ser representadas pelo espaço euclidiano tridimensional. O mapeamento linear de muitos-para-um do espaço de Hilbert de cores físicas para o espaço euclidiano de cores percetíveis pelo ser humano explica a razão pela qual muitas cores físicas distintas podem ser percecionadas pelos seres humanos como sendo idênticas (por exemplo, luz amarela pura contra uma mistura de luz vermelha e verde, ver Metamerismo).
Teoria de Sturm-Liouville
Na teoria das equações diferenciais ordinárias, os métodos espetrais num espaço de Hilbert adequado são usados para estudar o comportamento dos autovalores e das autofunções das equações diferenciais. Por exemplo, o problema de Sturm-Liouville surge no estudo dos harmônicos de ondas numa corda de violino ou num tambor, e é um problema central nas equações diferenciais ordinárias. O problema é uma equação diferencial da forma − d d x [ p ( x ) d y d x ] + q ( x ) y = λ w ( x ) y {\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y} para uma função desconhecida y num intervalo [a, b], satisfazendo condições de contorno de Robin homogêneas gerais { α y ( a ) + α ′ y ′ ( a ) = 0 β y ( b ) + β ′ y ′ ( b ) = 0 . {\displaystyle {\begin{cases}\alpha y(a)+\alpha 'y'(a)&=0\\\beta y(b)+\beta 'y'(b)&=0\,.\end{cases}}} As funções p, q e w são dadas antecipadamente, e o problema é encontrar a função y e as constantes λ para as quais a equação tem uma solução. O problema só tem soluções para certos valores de λ, chamados autovalores do sistema, e isto é uma consequência do teorema espetral para operadores compactos aplicado ao operador integral definido pela função de Green para o sistema. Além disso, outra consequência deste resultado geral é que os autovalores λ do sistema podem ser arranjados numa sequência crescente tendendo ao infinito.[nota 3]
Equações diferenciais parciais
Os espaços de Hilbert formam uma ferramenta básica no estudo das equações diferenciais parciais. Para muitas classes de equações diferenciais parciais, tais como as equações elípticas lineares, é possível considerar uma solução generalizada (conhecida como solução fraca) ampliando a classe de funções. Muitas formulações fracas envolvem a classe das funções de Sobolev, que é um espaço de Hilbert. Uma formulação fraca adequada reduz-se a um problema geométrico, o problema analítico de encontrar uma solução ou, o que muitas vezes é mais importante, mostrar que uma solução existe e é única para os dados de contorno fornecidos. Para as equações elípticas lineares, um resultado geométrico que garante a solucionabilidade única para uma grande classe de problemas é o teorema de Lax-Milgram. Esta estratégia constitui o rudimento do método de Galerkin (um método dos elementos finitos) para a solução numérica de equações diferenciais parciais.
Teoria ergódica
O campo da teoria ergódica é o estudo do comportamento a longo prazo de sistemas dinâmicos caóticos. O caso prototípico de um campo ao qual a teoria ergódica se aplica é a termodinâmica, na qual — embora o estado microscópico de um sistema seja extremamente complicado (é impossível entender o conjunto de colisões individuais entre partículas de matéria) — o comportamento médio ao longo de intervalos de tempo suficientemente longos é tratável. As leis da termodinâmica são asserções sobre tal comportamento médio. Em particular, uma formulação da lei zero da termodinâmica assevera que, ao longo de escalas de tempo suficientemente longas, a única medição funcionalmente independente que se pode fazer de um sistema termodinâmico em equilíbrio é a sua energia total, sob a forma de temperatura.
Análise de Fourier
Um dos objetivos básicos da análise de Fourier é o de decompor uma função numa combinação linear (possivelmente infinita) de dadas funções de base: a série de Fourier associada. A série clássica de Fourier associada a uma função f definida no intervalo [0, 1] é uma série da forma ∑ n = − ∞ ∞ a n e 2 π i n θ {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi in\theta }} onde a n = ∫ 0 1 f ( θ ) e − 2 π i n θ d θ . {\displaystyle a_{n}=\int _{0}^{1}f(\theta )\;\!e^{-2\pi in\theta }\,\mathrm {d} \theta \,.} O exemplo da adição dos primeiros termos de uma série de Fourier para uma função dente de serra é mostrado na figura. As funções de base são ondas senoidais com comprimentos de onda λ/n (para n inteiro) mais curtos do que o comprimento de onda λ do próprio dente de serra (exceto para n = 1, a onda fundamental).
Mecânica quântica
Na formulação matematicamente rigorosa da mecânica quântica, desenvolvida por John von Neumann, os estados possíveis (mais precisamente, os estados puros) de um sistema mecânico quântico são representados por vetores unitários (chamados vetores de estado) que residem num espaço de Hilbert separável complexo, conhecido como o espaço de estados, bem definido até a um número complexo de norma 1 (o fator de fase). Por outras palavras, os estados possíveis são pontos na projetivização de um espaço de Hilbert, geralmente chamado de espaço projetivo complexo. A natureza exata deste espaço de Hilbert é dependente do sistema; por exemplo, os estados de posição e de momento para uma única partícula não-relativística de spin zero é o espaço de todas as funções quadrado-integráveis, enquanto os estados para o spin de um único próton são elementos unitários do espaço de Hilbert complexo bidimensional dos espinores. Cada observável é representado por um operador linear autoadjunto atuando no espaço de estados. Cada autoestado de um observável corresponde a um autovetor do operador, e o autovalor associado corresponde ao valor do observável nesse autoestado.
Teoria das probabilidades
Na teoria das probabilidades, os espaços de Hilbert também têm diversas aplicações. Aqui, um espaço de Hilbert fundamental é o espaço das variáveis aleatórias num dado espaço de probabilidade, possuindo classe L 2 {\displaystyle L^{2}} (primeiro e segundo momentos finitos). Uma operação comum na estatística é a de centrar uma variável aleatória subtraindo a sua esperança matemática. Assim, se X {\displaystyle X} é uma variável aleatória, então X − E ( X ) {\displaystyle X-E(X)} é o seu centramento. Na perspetiva do espaço de Hilbert, esta é a projeção ortogonal de X {\displaystyle X} sobre o núcleo do operador de esperança matemática, que é um funcional linear contínuo no espaço de Hilbert (de facto, o produto interno com a variável aleatória constante 1), e por isso este núcleo é um subespaço fechado.
Identidade pitagórica
Dois vetores u e v num espaço de Hilbert H são ortogonais quando ⟨u, v⟩ = 0. A notação para isto é u ⊥ v. De forma mais geral, quando S é um subconjunto em H, a notação u ⊥ S significa que u é ortogonal a todo elemento de S. Quando u e v são ortogonais, tem-se ‖ u + v ‖ 2 = ⟨ u + v , u + v ⟩ = ⟨ u , u ⟩ + 2 Re ⟨ u , v ⟩ + ⟨ v , v ⟩ = ‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2 . {\displaystyle \|u+v\|^{2}=\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle +2\,\operatorname {Re} \langle u,v\rangle +\langle v,v\rangle =\|u\|^{2}+\|v\|^{2}\,.} Por indução em n, isto é estendido para qualquer família u1, ..., un de n vetores ortogonais, ‖ u 1 + ⋯ + u n ‖ 2 = ‖ u 1 ‖ 2 + ⋯ + ‖ u n ‖ 2 . {\displaystyle \left\|u_{1}+\cdots +u_{n}\right\|^{2}=\left\|u_{1}\right\|^{2}+\cdots +\left\|u_{n}\right\|^{2}.}
Identidade do paralelogramo e polarização
Por definição, todo espaço de Hilbert é também um espaço de Banach. Além disso, em todo espaço de Hilbert, verifica-se a seguinte identidade do paralelogramo: ‖ u + v ‖ 2 + ‖ u − v ‖ 2 = 2 ( ‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2 ) . {\displaystyle \|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2{\bigl (}\|u\|^{2}+\|v\|^{2}{\bigr )}\,.} Por outro lado, todo espaço de Banach no qual a identidade do paralelogramo se verifica é um espaço de Hilbert, e o produto interno é inequivocamente determinado pela norma pela identidade de polarização. Para espaços de Hilbert reais, a identidade de polarização é ⟨ u , v ⟩ = 1 4 ( ‖ u + v ‖ 2 − ‖ u − v ‖ 2 ) . {\displaystyle \langle u,v\rangle ={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}{\bigr )}\,.}
Melhor aproximação
Esta subseção emprega o teorema da projeção de Hilbert. Se C é um subconjunto convexo fechado não vazio de um espaço de Hilbert H e x um ponto em H, existe um ponto único y ∈ C que minimiza a distância entre x e os pontos em C, y ∈ C , ‖ x − y ‖ = dist ( x , C ) = min { ‖ x − z ‖ | z ∈ C } . {\displaystyle y\in C\,,\quad \|x-y\|=\operatorname {dist} (x,C)=\min {\bigl \{}\|x-z\|\mathrel {\big |} z\in C{\bigr \}}\,.} Isto é equivalente a dizer que existe um ponto com norma mínima no conjunto convexo transladado D = C − x. A prova consiste em mostrar que toda sequência minimizadora (dn) ⊂ D é de Cauchy (usando a identidade do paralelogramo) e, portanto, converge (usando completude) para um ponto em D que tem norma mínima. Mais genericamente, isto verifica-se em qualquer espaço de Banach uniformemente convexo.
Dualidade
O espaço dual contínuo H* é o espaço de todas as funções lineares contínuas do espaço H no corpo base. Ele carrega uma norma natural, definida por ‖ φ ‖ = sup ‖ x ‖ = 1 , x ∈ H | φ ( x ) | . {\displaystyle \|\varphi \|=\sup _{\|x\|=1,x\in H}|\varphi (x)|\,.} Esta norma satisfaz a lei do paralelogramo, e, portanto, o espaço dual é também um espaço com produto interno, onde este produto interno pode ser definido em termos desta norma dual usando a identidade de polarização. O espaço dual também é completo, pelo que é um espaço de Hilbert por direito próprio. Se e• = (ei)i ∈ I é uma base ortonormal completa para H, então o produto interno no espaço dual de quaisquer dois f , g ∈ H ∗ {\displaystyle f,g\in H^{*}} é ⟨ f , g ⟩ H ∗ = ∑ i ∈ I f ( e i ) g ( e i ) ¯ {\displaystyle \langle f,g\rangle _{H^{*}}=\sum _{i\in I}f(e_{i}){\overline {g(e_{i})}}} onde todos os termos nesta série, exceto os contáveis, são zero.
Sequências fracamente convergentes
Num espaço de Hilbert H, uma sequência {xn} é fracamente convergente para um vetor x ∈ H quando lim n ⟨ x n , v ⟩ = ⟨ x , v ⟩ {\displaystyle \lim _{n}\langle x_{n},v\rangle =\langle x,v\rangle } para todo v ∈ H. Por exemplo, qualquer sequência ortonormal {fn} converge fracamente para 0, como uma consequência da desigualdade de Bessel. Toda sequência fracamente convergente {xn} é limitada, pelo teorema de Banach-Steinhaus (princípio da limitação uniforme). Em contrapartida, toda sequência limitada num espaço de Hilbert admite subsequências fracamente convergentes (teorema de Banach-Alaoglu). Este facto pode ser usado para provar resultados de minimização para funcionais convexos contínuos, da mesma forma que o teorema de Bolzano-Weierstrass é usado para funções contínuas em Rd. Entre várias variantes, uma afirmação simples é a seguinte:
Propriedades de espaço de Banach
Qualquer propriedade geral dos espaços de Banach continua a verificar-se para os espaços de Hilbert. O teorema da aplicação aberta afirma que uma transformação linear sobrejetiva contínua de um espaço de Banach para outro é um mapeamento aberto significando que envia conjuntos abertos para conjuntos abertos. Um corolário é o teorema da inversa limitada, segundo o qual uma função linear contínua e bijetiva de um espaço de Banach para outro é um isomorfismo (ou seja, um mapa linear contínuo cuja inversa é também contínua). Este teorema é consideravelmente mais simples de provar no caso dos espaços de Hilbert do que nos espaços de Banach em geral. O teorema da aplicação aberta é equivalente ao teorema do gráfico fechado, que assevera que uma função linear de um espaço de Banach para outro é contínua se e somente se o seu gráfico for um conjunto fechado. No caso dos espaços de Hilbert, isto é fundamental no estudo de operadores ilimitados (veja Operador fechado).
Operadores limitados
Os operadores lineares contínuos A : H1 → H2 de um espaço de Hilbert H1 para um segundo espaço de Hilbert H2 são limitados no sentido de que mapeiam conjuntos limitados em conjuntos limitados. Inversamente, se um operador é limitado, então ele é contínuo. O espaço de tais operadores lineares limitados possui uma norma, a norma de operador, dada por ‖ A ‖ = sup { ‖ A x ‖ | ‖ x ‖ ≤ 1 } . {\displaystyle \lVert A\rVert =\sup {\bigl \{}\|Ax\|\mathrel {\big |} \|x\|\leq 1{\bigr \}}\,.} A soma e a composição de dois operadores lineares limitados são novamente limitadas e lineares. Para y em H2, o mapa que envia x ∈ H1 para ⟨Ax, y⟩ é linear e contínuo, e de acordo com o teorema da representação de Riesz pode, portanto, ser representado na forma ⟨ x , A ∗ y ⟩ = ⟨ A x , y ⟩ {\displaystyle \left\langle x,A^{*}y\right\rangle =\langle Ax,y\rangle } para algum vetor A*y em H1. Isto define outro operador linear limitado A* : H2 → H1, o adjunto de A. O adjunto satisfaz A** = A. Quando o teorema da representação de Riesz é usado para identificar cada espaço de Hilbert com o seu espaço dual contínuo, pode-se mostrar que o adjunto de A é idêntico à transposta tA : H2* → H1* de A, a qual, por definição, envia ψ ∈ H 2 ∗ {\displaystyle \psi \in H_{2}^{*}} para o funcional ψ ∘ A ∈ H 1 ∗ . {\displaystyle \psi \circ A\in H_{1}^{*}.}
Operadores ilimitados
Os operadores ilimitados também são tratáveis em espaços de Hilbert e têm aplicações importantes na mecânica quântica. Um operador ilimitado T num espaço de Hilbert H é definido como um operador linear cujo domínio D(T) é um subespaço linear de H. Muitas vezes o domínio D(T) é um subespaço denso de H, caso em que T é conhecido como um operador densamente definido. O adjunto de um operador ilimitado densamente definido é definido essencialmente da mesma maneira que para os operadores limitados. Os operadores ilimitados autoadjuntos desempenham o papel dos observáveis na formulação matemática da mecânica quântica. Exemplos de operadores ilimitados autoadjuntos no espaço de Hilbert L2(R) são:
Somas diretas
Dois espaços de Hilbert H1 e H2 podem ser combinados noutro espaço de Hilbert, chamado de soma direta (ortogonal), e denotado por H 1 ⊕ H 2 , {\displaystyle H_{1}\oplus H_{2}\,,} que consiste no conjunto de todos os pares ordenados (x1, x2) onde xi ∈ Hi, i = 1, 2, e o produto interno é definido por ⟨ ( x 1 , x 2 ) , ( y 1 , y 2 ) ⟩ H 1 ⊕ H 2 = ⟨ x 1 , y 1 ⟩ H 1 + ⟨ x 2 , y 2 ⟩ H 2 . {\displaystyle {\bigl \langle }(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2}}=\left\langle x_{1},y_{1}\right\rangle _{H_{1}}+\left\langle x_{2},y_{2}\right\rangle _{H_{2}}\,.} Mais geralmente, se Hi é uma família de espaços de Hilbert indexada por i ∈ I, então a soma direta dos Hi, denotada por ⨁ i ∈ I H i {\displaystyle \bigoplus _{i\in I}H_{i}} consiste no conjunto de todas as famílias indexadas x = ( x i ∈ H i ∣ i ∈ I ) ∈ ∏ i ∈ I H i {\displaystyle x=(x_{i}\in H_{i}\mid i\in I)\in \prod _{i\in I}H_{i}} no produto cartesiano dos Hi tal que ∑ i ∈ I ‖ x i ‖ 2 < ∞ . {\displaystyle \sum _{i\in I}\|x_{i}\|^{2}<\infty \,.}
Produtos tensoriais
Se x1, y1 ∊ H1 e x2, y2 ∊ H2, então define-se um produto interno no produto tensorial (ordinário) da seguinte forma. Nos tensores simples, seja ⟨ x 1 ⊗ x 2 , y 1 ⊗ y 2 ⟩ = ⟨ x 1 , y 1 ⟩ ⟨ x 2 , y 2 ⟩ . {\displaystyle \langle x_{1}\otimes x_{2},\,y_{1}\otimes y_{2}\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle \,\langle x_{2},y_{2}\rangle \,.} Esta fórmula estende-se então por sesquilinearidade para um produto interno em H1 ⊗ H2. O produto tensorial hilbertiano de H1 e H2, às vezes denotado por H1 ⊗ ^ {\displaystyle {\widehat {\otimes }}} H2, é o espaço de Hilbert obtido completando H1 ⊗ H2 para a métrica associada a este produto interno. Um exemplo é fornecido pelo espaço de Hilbert L2([0, 1]). O produto tensorial hilbertiano de duas cópias de L2([0, 1]) é isometricamente e linearmente isomorfo ao espaço L2([0, 1]2) de funções quadrado-integráveis no quadrado [0, 1]2. Este isomorfismo envia um tensor simples f1 ⊗ f2 para a função ( s , t ) ↦ f 1 ( s ) f 2 ( t ) {\displaystyle (s,t)\mapsto f_{1}(s)\,f_{2}(t)} no quadrado.
A noção de uma base ortonormal da álgebra linear é generalizada para o caso dos espaços de Hilbert. Num espaço de Hilbert H, uma base ortonormal é uma família {ek}k ∈ B de elementos de H que satisfaz as condições: Um sistema de vetores que satisfaça as duas primeiras condições de base é chamado de sistema ortonormal ou conjunto ortonormal (ou sequência ortonormal se B for enumerável). Um tal sistema é sempre linearmente independente. Apesar do nome, uma base ortonormal não é, em geral, uma base no sentido da álgebra linear (Base de Hamel). Mais precisamente, uma base ortonormal é uma base de Hamel se e somente se o espaço de Hilbert for um espaço vetorial de dimensão finita. A completude de um sistema ortonormal de vetores de um espaço de Hilbert pode ser reformulada de forma equivalente como: Isto está relacionado com o facto de que o único vetor ortogonal a um subespaço linear denso é o vetor nulo, pois se S for qualquer conjunto ortonormal e v for ortogonal a S, então v é ortogonal ao fecho da expansão linear de S, que é todo o espaço.
Espaços de sequências
O espaço ℓ 2 {\displaystyle \ell _{2}} de sequências quadrado-somáveis de números complexos é o conjunto de sequências infinitas ( c 1 , c 2 , c 3 , … ) {\displaystyle (c_{1},c_{2},c_{3},\dots )} de números reais ou complexos de tal forma que | c 1 | 2 + | c 2 | 2 + | c 3 | 2 + ⋯ < ∞ . {\displaystyle \left|c_{1}\right|^{2}+\left|c_{2}\right|^{2}+\left|c_{3}\right|^{2}+\cdots <\infty \,.} Este espaço tem uma base ortonormal: e 1 = ( 1 , 0 , 0 , … ) e 2 = ( 0 , 1 , 0 , … ) ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=(1,0,0,\dots )\\e_{2}&=(0,1,0,\dots )\\&\ \ \vdots \end{aligned}}} Este espaço é a generalização de dimensão infinita do espaço ℓ 2 n {\displaystyle \ell _{2}^{n}} de vetores de dimensão finita. É geralmente o primeiro exemplo usado para mostrar que, em espaços de dimensão infinita, um conjunto que é fechado e limitado não é necessariamente compacto (sequencialmente) (como é o caso em todos os espaços de dimensão finita). De facto, o conjunto de vetores ortonormais acima mostra isso: É uma sequência infinita de vetores na bola unitária (isto é, a bola de pontos com norma menor ou igual a um). Este conjunto é claramente limitado e fechado; no entanto, nenhuma subsequência destes vetores converge para nada e, consequentemente, a bola unitária em ℓ 2 {\displaystyle \ell _{2}} não é compacta. Intuitivamente, isso ocorre porque "há sempre outra direção de coordenadas" para a qual os elementos seguintes da sequência podem fugir.
Desigualdade de Bessel e fórmula de Parseval
Seja f1, ..., fn um sistema ortonormal finito em H. Para um vetor arbitrário x ∈ H, seja y = ∑ j = 1 n ⟨ x , f j ⟩ f j . {\displaystyle y=\sum _{j=1}^{n}\langle x,f_{j}\rangle \,f_{j}\,.} Então ⟨x, fk⟩ = ⟨y, fk⟩ para todo k = 1, ..., n. Resulta que x − y é ortogonal a cada fk, logo x − y é ortogonal a y. Utilizando a identidade pitagórica duas vezes, conclui-se que ‖ x ‖ 2 = ‖ x − y ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 ≥ ‖ y ‖ 2 = ∑ j = 1 n | ⟨ x , f j ⟩ | 2 . {\displaystyle \|x\|^{2}=\|x-y\|^{2}+\|y\|^{2}\geq \|y\|^{2}=\sum _{j=1}^{n}{\bigl |}\langle x,f_{j}\rangle {\bigr |}^{2}\,.} Seja {fi}, i ∈ I, um sistema ortonormal arbitrário em H. Aplicando a desigualdade precedente a todo subconjunto finito J de I obtém-se a desigualdade de Bessel: ∑ i ∈ I | ⟨ x , f i ⟩ | 2 ≤ ‖ x ‖ 2 , x ∈ H {\displaystyle \sum _{i\in I}{\bigl |}\langle x,f_{i}\rangle {\bigr |}^{2}\leq \|x\|^{2},\quad x\in H} (de acordo com a definição de soma de uma família arbitrária de números reais não-negativos).
Dimensão de Hilbert
Como consequência do lema de Zorn, todo espaço de Hilbert admite uma base ortonormal; além disso, quaisquer duas bases ortonormais do mesmo espaço têm a mesma cardinalidade, chamada de dimensão de Hilbert do espaço. Por exemplo, uma vez que l2(B) possui uma base ortonormal indexada por B, a sua dimensão de Hilbert é a cardinalidade de B (que pode ser um número inteiro finito, ou um número cardinal enumerável ou não enumerável). A dimensão de Hilbert não é maior do que a dimensão de Hamel (a dimensão usual de um espaço vetorial). Como consequência da identidade de Parseval, se {ek}k ∈ B é uma base ortonormal de H, então o mapa Φ : H → l2(B) definido por Φ(x) = ⟨x, ek⟩k∈B é um isomorfismo isométrico de espaços de Hilbert: é um mapeamento linear bijetivo tal que ⟨ Φ ( x ) , Φ ( y ) ⟩ l 2 ( B ) = ⟨ x , y ⟩ H {\displaystyle {\bigl \langle }\Phi (x),\Phi (y){\bigr \rangle }_{l^{2}(B)}=\left\langle x,y\right\rangle _{H}} para todos os x, y ∈ H. O número cardinal de B é a dimensão de Hilbert de H. Desta forma, todo espaço de Hilbert é isometricamente isomorfo a um espaço de sequências l2(B) para algum conjunto B.
Espaços separáveis
Por definição, um espaço de Hilbert é separável desde que contenha um subconjunto enumerável denso. Em conjunto com o lema de Zorn, isto significa que um espaço de Hilbert é separável se e somente se admitir uma base ortonormal enumerável. Todos os espaços de Hilbert separáveis de dimensão infinita são, portanto, isometricamente isomorfos ao espaço de sequências quadrado-somáveis, ℓ 2 . {\displaystyle \ell ^{2}.} No passado, exigia-se frequentemente que os espaços de Hilbert fossem separáveis como parte da definição. A maioria dos espaços utilizados na física são separáveis, e como estes são todos isomorfos uns aos outros, frequentemente se refere a qualquer espaço de Hilbert separável de dimensão infinita como "o espaço de Hilbert" ou apenas "espaço de Hilbert". Mesmo na teoria quântica de campos, a maioria dos espaços de Hilbert são de fato separáveis, como estipulado pelos axiomas de Wightman.
Se S é um subconjunto de um espaço de Hilbert H, o conjunto de vetores ortogonais a S é definido por S ⊥ = { x ∈ H ∣ ⟨ x , s ⟩ = 0 para todo s ∈ S } . {\displaystyle S^{\perp }=\left\{x\in H\mid \langle x,s\rangle =0\ {\text{ para todo }}s\in S\right\}\,.} O conjunto S⊥ é um subespaço fechado de H (o que pode ser provado facilmente usando a linearidade e continuidade do produto interno) e, portanto, forma por si só um espaço de Hilbert. Se V é um subespaço fechado de H, então V⊥ é chamado de complemento ortogonal de V. De facto, todo x ∈ H pode então ser escrito de forma única como x = v + w, com v ∈ V e w ∈ V⊥. Portanto, H é a soma direta interna de Hilbert de V e V⊥. O operador linear PV : H → H que mapeia x para v é chamado de projeção ortogonal sobre V. Existe uma correspondência biunívoca natural entre o conjunto de todos os subespaços fechados de H e o conjunto de todos os operadores autoadjuntos limitados P tais que P2 = P. Especificamente,
Existe uma teoria espetral bem desenvolvida para operadores autoadjuntos num espaço de Hilbert, que é aproximadamente análoga ao estudo de matrizes simétricas sobre os reais ou matrizes autoadjuntas sobre os números complexos. No mesmo sentido, pode-se obter uma "diagonalização" de um operador autoadjunto como uma soma adequada (na verdade, um integral) de operadores de projeção ortogonal. O espetro de um operador T, denotado por σ(T), é o conjunto de números complexos λ tais que T − λ não possui uma inversa contínua. Se T é limitado, então o espetro é sempre um conjunto compacto no plano complexo, e reside dentro do disco | z | ≤ ‖ T ‖ {\displaystyle |z|\leq \|T\|} . Se T é autoadjunto, então o espetro é real. De facto, está contido no intervalo [m, M] onde m = inf ‖ x ‖ = 1 ⟨ T x , x ⟩ , M = sup ‖ x ‖ = 1 ⟨ T x , x ⟩ . {\displaystyle m=\inf _{\|x\|=1}\langle Tx,x\rangle \,,\quad M=\sup _{\|x\|=1}\langle Tx,x\rangle \,.}
