Contradomínio

Funções com contradomínios diferentes são, a rigor, diferentes, mesmo que sejam dadas pela mesma lei de associação: A função f {\displaystyle f} é injetora, enquanto h {\displaystyle h} é sobrejetora e g {\displaystyle g} é bijetora. Costuma-se representar uma função por sua lei genérica, sem explicitar o domínio ou o contradomínio. Nestes casos, eles devem ser considerados de forma implícita como os maiores possíveis. Por exemplo, quando se fala na função real y = x {\displaystyle y={\sqrt {x}}} , supõe-se que o domínio é o maior subconjunto dos números reais possível, ou seja, o intervalo [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} , e o contradomínio é o conjunto R {\displaystyle \mathbb {R} } dos números reais. Uma definição alternativa de função dada por Bourbaki [Bourbaki, op. cit., p. 77], simplesmente como um gráfico funcional, não inclui um contradomínio e também é amplamente utilizada. Por exemplo, em teoria de conjuntos é desejável permitir que o domínio de uma função seja uma classe própria X, e neste caso, não existe formalmente uma tripla (X, Y, F). Com esta definição as funções não têm um contradomínio, embora alguns autores ainda utilizem informalmente depois de introduzir uma função na forma f: X → Y.

O contradomínio de uma função é o conjunto das imagens da função. Assim, se o conjunto B é o contradomínio de uma função f, todos os valores de f(x) pertencem a e perfazem B. Na notação f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} , ao conjunto Y é chamado conjunto de chegada da função f, que pode ser igual a ou, simplesmente, conter o conjunto B. Nos exemplos acima, apenas os conjuntos de chegada das funções h e g são iguais. Já o contradomínio, é o mesmo para a três, [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} .