Espaços normados
Em matemática, um espaço vetorial normado ou simplesmente espaço normado é um espaço vetorial munido de uma norma. A norma é a generalização do conceito de "tamanho" de vetor, sempre presente canonicamente no caso do espaço tridimensional .
Seja X {\displaystyle X} um espaço vetorial real ou complexo. Uma função ‖ ⋅ ‖ : X → R {\displaystyle \lVert \cdot \rVert :X\to \mathbb {R} } é uma norma se ela satisfaz as propriedades a seguir. Nesse caso, X {\displaystyle X} é dito ser um espaço normado. Pelas propriedades acima, é possível ver que d ( x , y ) := ‖ x − y ‖ , ∀ x , y ∈ X {\displaystyle d(x,y):=\lVert x-y\rVert ,\quad \forall x,\,y\in X} define uma métrica em X {\displaystyle X\,} , fazendo de todo espaço normado, em particular, um espaço métrico. Espaços normados que são completos, na métrica induzida pela norma, são chamados de espaços de Banach. As operações de soma + {\displaystyle +} e produto por escalar ⋅ {\displaystyle \cdot } são contínuas em qualquer espaço normado. Logo, espaços normados são casos particulares de espaços vetoriais topológicos.
Exemplos de Espaços Normados
1) O espaço vetorial R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} munido da norma euclidiana ‖ x ‖ := ( ∑ k = 1 n | x k | 2 ) 1 / 2 {\displaystyle \lVert x\rVert :=\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{2}\right)^{1/2}} , onde x = ( x 1 , . . . , x n ) ∈ R n {\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} . 2) O espaço vetorial R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} munido da norma- p {\displaystyle p} ‖ x ‖ p := ( ∑ k = 1 n | x k | p ) 1 / p {\displaystyle \lVert x\rVert _{p}:=\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}} , onde x = ( x 1 , . . . , x n ) ∈ R n {\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} e p ∈ [ 1 , ∞ ) . {\displaystyle p\in [1,\infty ).}
Se um espaço vetorial X {\displaystyle X} é normado, a função d : X × X → R {\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} } definida por d ( x , y ) := ‖ x − y ‖ , ∀ x , y ∈ X {\displaystyle d(x,y):=\lVert x-y\rVert ,\quad \forall x,\,y\in X} é uma métrica em X {\displaystyle X} , chamado de métrica induzida pela norma. Reciprocamente, se X {\displaystyle X} é um espaço vetorial e um espaço métrico, cuja métrica satisfaz d ( x + z , y + z ) = d ( x , y ) {\displaystyle d(x+z,y+z)=d(x,y)} e d ( α x , α y ) = | α | d ( x , y ) {\displaystyle d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha |d(x,y)} para todos x , y , z ∈ X {\displaystyle x,y,z\in X} e α {\displaystyle \alpha } escalar, então existe uma norma ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \lVert \cdot \rVert } em X {\displaystyle X} que induz a métrica d {\displaystyle d} . A dizer, ‖ x ‖ = d ( x , 0 ) , ∀ x ∈ X {\displaystyle \lVert x\rVert =d(x,0),\quad \forall x\in X} .
Sejam X , Y {\displaystyle X,\,Y} espaços normados e T : X → Y {\displaystyle T:X\to Y} um operador linear. Dizemos que T {\displaystyle T} é limitado se existe c > 0 {\displaystyle c>0} ‖ T x ‖ ≤ c ‖ x ‖ , ∀ x ∈ X {\displaystyle \lVert Tx\rVert \leq c\lVert x\rVert ,\quad \forall x\in X\,} . Nesse caso, definimos a norma de operador de T {\displaystyle T} por ‖ T ‖ := sup x ≠ 0 ‖ T x ‖ ‖ x ‖ = sup ‖ x ‖ = 1 ‖ T x ‖ {\displaystyle \lVert T\rVert :=\sup _{x\neq 0}{\frac {\lVert Tx\rVert }{\lVert x\rVert }}=\sup _{\lVert x\rVert =1}{\lVert Tx\rVert }} . O conjunto dos operadores limitados X → Y {\displaystyle X\to Y} , geralmente denotado B ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y)} , é um subespaço do conjunto dos operadores lineares L ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)} e a norma de operador é de fato uma norma em B ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y)} . Caso Y {\displaystyle Y} seja um espaço de Banach, B ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y)} também é um espaço de Banach. Em particular, o dual topológico X ∗ := B ( X , K ) {\displaystyle X^{*}:={\mathcal {B}}(X,\mathbb {K} )} de qualquer espaço normado X {\displaystyle X\,} é completo.
Exemplos
1) Dado X {\displaystyle X} espaço normado, a identidade i d x : X → X {\displaystyle id_{x}:X\to X} é um operador linear limitado. 2) Dado o espaço ℓ p {\displaystyle \ell _{p}} , considere as funções S r : ℓ p → ℓ p {\displaystyle S_{r}:\ell _{p}\to \ell _{p}} e S l : ℓ p → ℓ p {\displaystyle S_{l}:\ell _{p}\to \ell _{p}} dadas por S r ( x ) := ( 0 , x 1 , x 2 , . . . , x n , . . . ) {\displaystyle S_{r}(x):=(0,x_{1},x_{2},...,x_{n},...)} e S l ( x ) := ( x 2 , x 3 , . . . , x n , . . . ) {\displaystyle S_{l}(x):=(x_{2},x_{3},...,x_{n},...)} , onde x := ( x 1 , x 2 , . . . , x n , . . . ) ∈ ℓ p . {\displaystyle x:=(x_{1},x_{2},...,x_{n},...)\in \ell _{p}.} Tais funções são exemplos de transformações lineares limitadas.
Sejam X {\displaystyle X} um espaço vetorial e ‖ ⋅ ‖ 1 , ‖ ⋅ ‖ 2 {\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{1},\,\lVert \cdot \rVert _{2}} duas normas nele. Caso ‖ ⋅ ‖ 1 , ‖ ⋅ ‖ 2 {\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{1},\,\lVert \cdot \rVert _{2}} induzam a mesma topologia, as duas normas são chamadas de equivalentes. Duas normas ‖ ⋅ ‖ 1 , ‖ ⋅ ‖ 2 {\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{1},\,\lVert \cdot \rVert _{2}} são equivalentes se, e somente se, existem A , B > 0 {\displaystyle A,B>0} tais que A ‖ x ‖ 1 ≤ ‖ x ‖ 2 ≤ B ‖ x ‖ 1 , ∀ x ∈ X {\displaystyle A\lVert x\rVert _{1}\leq \lVert x\rVert _{2}\leq B\lVert x\rVert _{1},\quad \forall x\in X} . Além disso, as sequências de Cauchy em ( X , ‖ ⋅ ‖ 1 ) {\displaystyle (X,\lVert \cdot \rVert _{1})} e ( X , ‖ ⋅ ‖ 2 ) {\displaystyle (X,\lVert \cdot \rVert _{2})} são as mesmas. Note que as desigualdades acima mostram que duas normas são equivalentes se, e só se, a identidade
Exemplos de Normas Equivalentes
1) Dados p , q ∈ [ 1 , ∞ ] {\displaystyle p,q\in [1,\infty ]} , tem-se que as normas ‖ x ‖ p {\displaystyle \lVert x\rVert _{p}} e ‖ x ‖ q {\displaystyle \lVert x\rVert _{q}} , quando definidas em R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , são equivalentes. Aqui, ‖ x ‖ ∞ := sup 1 ≤ k ≤ n | x k | {\displaystyle \lVert x\rVert _{\infty }:={\underset {1\leq k\leq n}{\sup }}|x_{k}|} , onde x = ( x 1 , . . . , x n ) ∈ R n {\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} . 2) Mais geralmente, é válido que quaisquer normas em R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , por se tratar de um espaço vetorial de dimensão finita.
Enquanto é trivial definir uma norma num espaço vetorial de dimensão finita (todo espaço de dimensão finita é isomorfo a R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ou C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} ), a construção de uma norma para o caso de um espaço vetorial de dimensão infinita não é trivial. Entretanto, sempre é possível a definição de uma norma em qualquer espaço vetorial. Uma das consequências do lema de Zorn é que todo espaço vetorial V {\displaystyle V} sobre K = R , C {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\,\mathbb {C} } possui uma base (de Hamel) { e i } i ∈ I {\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}} . Por definição, isso significa que todo vetor v ∈ V {\displaystyle v\in V} pode ser decomposto unicamente por v = ∑ j ∈ J α j e j {\displaystyle v=\sum _{j\in J}\alpha _{j}e_{j}} , onde J ⊆ I {\displaystyle J\subseteq I} é finito e α j ∈ K , ∀ j ∈ J {\displaystyle \alpha _{j}\in \mathbb {K} ,\,\forall j\in J} . Define-se então
