Função injectiva

Seja f {\displaystyle f} uma função cujo domínio é um conjunto X . {\displaystyle X.} Diz-se que a função f {\displaystyle f} é injetiva desde que para todos a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} em X , {\displaystyle X,} sempre que f ( a ) = f ( b ) , {\displaystyle f(a)=f(b),} então a = b ; {\displaystyle a=b;} isto é, f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle f(a)=f(b)} implica a = b . {\displaystyle a=b.} Equivalente, se a ≠ b , {\displaystyle a\neq b,} então f ( a ) ≠ f ( b ) . {\displaystyle f(a)\neq f(b).} ∀ a , b ∈ X , f ( a ) = f ( b ) ⇒ a = b {\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b} que é logicamente equivalente à contrapositiva, ∀ a , b ∈ X , a ≠ b ⇒ f ( a ) ≠ f ( b ) {\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)}

→ Hipótese: T não é injetora → T ( u ) = T ( v ) , {\displaystyle T(u)=T(v),} com u ≠ v , {\displaystyle u\neq v,} para algum u , v ∈ U . {\displaystyle u,v\in U.} Das propriedades da transformação linear: → T ( u ) − T ( v ) = 0 ⇔ T ( u − v ) = 0 {\displaystyle T(u)-T(v)=0\Leftrightarrow T(u-v)=0} → { u − v } ⊆ k e r ( T ) ∴ k e r ( T ) ≠ { 0 } → d i m ( k e r ( T ) ) > 0. {\displaystyle \{u-v\}\subseteq ker(T)\therefore ker(T)\neq \{0\}\rightarrow dim(ker(T))>0.} O caso de T ser injetora é exclusivo e podemos afirmar que se T é injetora ↔ k e r ( T ) = { 0 } ↔ d i m ( k e r ( T ) ) = 0. {\displaystyle {\mbox{T é injetora}}\leftrightarrow ker(T)=\{0\}\leftrightarrow dim(ker(T))=0.} Se v 1 , v 2 , . . . , v n ∈ E {\displaystyle v1,v2,...,vn\in E} são linearmente independentes provaremos que A ( v 1 ) , A ( v 2 ) , . . . , A ( v n ) ∈ F {\displaystyle A(v1),A(v2),...,A(vn)\in F} são linearmente independentes.

Funções com inversas à esquerda são sempre injeções. Isto é, dado f : X → Y , {\displaystyle f:X\rightarrow Y,} se houver uma função g : Y → X {\displaystyle g:Y\rightarrow X} tal que, para cada x ∈ X , {\displaystyle x\in X,} g ( f ( x ) ) = x {\displaystyle g(f(x))=x} ( f {\displaystyle f} pode ser desfeita por g {\displaystyle g} ) então f {\displaystyle f} é injetiva. Nesse caso, g {\displaystyle g} é chamada de retração de f . {\displaystyle f.} Por outro lado, f {\displaystyle f} é chamado de seção de g . {\displaystyle g.} Inversamente, toda injeção f {\displaystyle f} com domínio não vazio tem uma g {\displaystyle g} inversa à esquerda, que pode ser definida fixando um elemento a no domínio de f {\displaystyle f} de modo que g ( x ) {\displaystyle g(x)} seja igual à pré-imagem única de x {\displaystyle x} sob f , {\displaystyle f,} se existir e g ( x ) = a {\displaystyle g(x)=a} caso contrário.

Na verdade, para transformar uma função injetora f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} em uma função bijetiva (portanto, invertível), basta substituir seu contradomínio Y {\displaystyle Y} pelo seu intervalo real J = f ( X ) . {\displaystyle J=f(X).} Isto é, vamos g : X → J {\displaystyle g:X\rightarrow J} tal que g ( x ) = f ( x ) {\displaystyle g(x)=f(x)} para todo x {\displaystyle x} em X ; {\displaystyle X;} então g é bijetiva. De fato, f {\displaystyle f} pode ser fatorada como i n c l J , Y ∘ g , {\displaystyle incl_{J,Y}\circ g,} onde i n c l J , Y {\displaystyle incl_{J,Y}} é a função de inclusão de J {\displaystyle J} em Y . {\displaystyle Y.} Mais geralmente, as funções parciais injetivas são chamadas de bijeções parciais.

Uma prova de que uma função f {\displaystyle f} é injetiva depende de como a função é apresentada e quais propriedades ela contém. Para funções que são dadas por alguma fórmula, há uma ideia básica. Usamos a contrapositiva da definição de injetividade, ou seja, se f ( x ) = f ( y ) , {\displaystyle f(x)=f(y),} então x = y . {\displaystyle x=y.}