Georg Cantor

Georg Cantor nasceu em 1845 na colônia mercantil de São Petersburgo, na Rússia, onde viveu até os onze anos de idade. Georg, o mais velho de seis filhos, era considerado um excelente violinista. Seu avô Franz Böhm (1788-1846) (irmão do violinista Joseph Böhm) foi um solista conhecido, tocando inclusive na orquestra imperial russa. O pai de Cantor foi membro da bolsa de valores de São Petersburgo; quando ficou doente, a família mudou-se para a Alemanha em 1856, primeiro para Wiesbaden, depois para Frankfurt, em busca de invernos mais amenos do que os de São Petersburgo. Em 1860, Cantor se formou com méritos na Realschule em Darmstadt; suas habilidades excepcionais em matemática, (trigonometria em particular), atraíram atenção acadêmica. Em 1862, Cantor entrou na Instituto Federal de Tecnologia de Zurique. Depois de receber uma herança substancial com a morte de seu pai em junho de 1863, Cantor transferiu seus estudos para a Universidade de Berlim, onde assistiu a palestras de Leopold Kronecker, Karl Weierstrass e Ernst Kummer. Ele passou o verão de 1866 na Universidade de Göttingen, doutorando-se em 1867.

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O início da teoria dos conjuntos como um ramo da matemática é frequentemente marcado pela publicação do trabalho de Cantor de 1874, "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Sobre uma Propriedade da Coleção de Todos os Números Algébricos Reais") Este trabalho foi o primeiro a fornecer uma prova rigorosa de que havia mais de um tipo de infinito. Anteriormente, todas as coleções infinitas tinham sido implicitamente assumidas como equinumerosas (isto é, de "o mesmo tamanho" ou com o mesmo número de elementos). Cantor provou que a coleção de números reais e a coleção de números inteiros positivos não são equinumeráveis. Em outras palavras, os números reais não são contáveis. Sua prova provém do argumento diagonal que ele elaborou em 1891. O artigo de Cantor também contém um novo método de construção de números transcendentais. Os números transcendentais foram construídos pela primeira vez por Joseph Liouville em 1844.

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Teorema: (Cantor) cardA < cardP(A). Logo dado qualquer número cardinal, sempre existe um número cardinal maior que o número cardinal dado. A cardinalidade é o número de elementos de um conjunto, por exemplo, o conjunto A={2,4,6,8} contém 4 elementos e por isso possui cardinalidade 4. Cantor descreve um dos primeiros paradoxos da teoria dos conjuntos. Aceitando a definição de conjuntos dada por Cantor, podemos conceber o conjunto U de todos os conjuntos. Esse conjunto U seria o conjunto universal, portanto teria potência máxima, já que seria composto por todos os conjuntos. Em particular ele teria que ser um elemento de si mesmo, o que pode ser estranho. Porém ao considerarmos o conjunto das partes de U, ou seja, é o conjunto P(U), pelo teorema de Cantor P(U) > U. Mas isso contradiz a suposição inicial, de que existe um conjunto universal U, ou conjunto de todos os conjuntos. Tal conjunto não existe, como não existe infinito absoluto, isto é, que seja “maior” de todos.