Hipótese do continuum
A hipótese do continuum é uma conjectura proposta por Georg Cantor. Esta conjectura consiste no seguinte:Não existe nenhum conjunto com cardinalidade menor que a do conjunto dos números inteiros e maior que a do conjunto dos números reais.
Cantor acreditava que a conjectura era verdadeira. No entanto: Deste modo a hipótese do continuum é independente dos axiomas de Zermelo-Fraenkel. Esta independência leva alguns matemáticos a considerarem que os axiomas de Zermelo-Fraenkel não são os mais suficientes para resolver problemas significativos da teoria de conjuntos e que deveriam ser considerados axiomas adicionais para tornar esta hipótese verdadeira ou falsa. Em particular, Gödel, apesar de ter demonstrado a sua consistência, considerava a possibilidade de que novos axiomas permitissem refutar a Hipótese do Continuum.
Aleph (א) é uma letra usada para representar cardinais infinitos. A cardinalidade dos conjunto dos números inteiros é ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} , o cardinal seguinte é ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} , etc. Usando os números cardinais א, a hipótese do Continuum pode ser escrita como: A generalização desta hipótese (que não pode ser provada a partir dela) é que para qualquer ordinal α {\displaystyle \alpha } : Um cuidado deve ser observado na fórmula acima: o tratamento de α + 1 usa aritmética ordinal enquanto que o tratamento de 2 ℵ α {\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}\,} usa aritmética cardinal; todo número ordinal é, por definição, um número cardinal, mas a recíproca não é verdadeira.
Em ZFC, a teoria dos conjuntos com os axiomas de Zermelo-Fraenkel mais o axioma da escolha, a cardinalidade do contínuo está muito indeterminada. O primeiro resultado negativo foi demonstrado por König, sobre os valores que o contínuo não pode tomar, pois o denominado teorema de König mostra: O mesmo acontece para outros cardinais de cofinalidade ω {\displaystyle \omega ^{\,}} : Seja Con ( T ) {\displaystyle {\mbox{Con}}\left(T\right)} o enunciado " T {\displaystyle T^{\,}} é consistente". Como enunciado acima, Gödel demonstrou: Usando forçamento (forcing) os seguintes resultados podem ser demonstrados: para qualquer n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} . De maneira mais geral, o contínuo pode ser qualquer cardinal regular não enumerável. Por exemplo: Se denominarmos WI o enunciado "existe um cardinal fracamente inacessível", então vale:
