Integral
No cálculo, a integral é o análogo contínuo de uma soma discreta, usada para calcular áreas, volumes e suas generalizações. A integral foi desenvolvida originalmente para resolver certos problemas na matemática e na física, tais como determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e para determinar o deslocamento a partir da velocidade.
Integral definida
Seja f {\displaystyle f} uma função contínua definida no intervalo [ a , b ] . {\displaystyle [a,b].} A integral definida desta função é denotada comː A ideia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de somatório. Isto porque, intuitivamente, a integral de f ( x ) {\displaystyle {f(x)}} sobre o intervalo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base Δ x {\displaystyle \Delta x} tendendo a zero e altura f ( x i ∗ ) , {\displaystyle {f(x_{i}^{*})},} onde o produto f ( x i ∗ ) Δ x {\displaystyle {f(x_{i}^{*})}\Delta x} é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas (áreas infinitesimais), fornece a área entre a curva y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} e o eixo das abscissas. Mais precisamente, pode-se dizer que a integral acima é o valor limite da soma:
Integral indefinida
A integral indefinida de f ( x ) {\displaystyle f(x)} é a função (ou família de funções) definida porː ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C {\displaystyle \int {f(x)}dx=F(x)+C} em que C {\displaystyle C} é uma constante indeterminada e F ( x ) {\displaystyle F(x)} é uma antiderivada ou primitiva de f ( x ) , {\displaystyle f(x),} i.e. F ′ ( x ) = f ( x ) . {\displaystyle F'(x)=f(x).} A notação ∫ f ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)dx} é lida como: a integral de f ( x ) {\displaystyle f(x)} em relação a x . {\displaystyle x.} É importante saber-se distinguir a integral definida da integral indefinida. Uma integral definida é um número, enquanto uma integral indefinida é uma função (ou uma família de funções). Como consideramos a integral como uma antiderivada, ou seja, o inverso da derivada, colocamos a constante C {\displaystyle C} pois a derivada da constante resulta em 0 , {\displaystyle 0,} restando assim apenas a derivada de F ( x ) {\displaystyle F(x)} que nada mais é do que a própria função f ( x ) . {\displaystyle f(x).} Logo, temos uma primitiva para cada valor de C {\displaystyle C} .
O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece que se f ( x ) {\displaystyle f(x)} for contínua em [ a , b ] , {\displaystyle [a,b],} entãoː ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)} onde, F ( x ) {\displaystyle F(x)} é uma antiderivada de f ( x ) . {\displaystyle f(x).} De forma mais geral, este teorema afirma que se f ( x ) {\displaystyle f(x)} é uma função contínua em um intervalo I {\displaystyle I} então, para qualquer a ∈ I , {\displaystyle a\in I,} temos que: F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t {\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt} é uma antiderivada de f ( x ) {\displaystyle f(x)} definida para todo x ∈ I . {\displaystyle x\in I.} Ou seja: d d x [ ∫ a x f ( t ) d t ] = f ( x ) . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\int _{a}^{x}f(t)dt\right]=f(x).} Seja f ( x ) {\displaystyle f(x)} é uma função não-negativa definida em um intervalo I {\displaystyle I} e a ∈ I . {\displaystyle a\in I.} Para cada ponto x > a , {\displaystyle x>a,} a área A {\displaystyle A} sob o gráfico de f ( x ) {\displaystyle f(x)} restrita ao intervalo [ a , x ] {\displaystyle [a,x]} é função de x , {\displaystyle x,} i.e. A = A ( x ) . {\displaystyle A=A(x).} Neste caso, como consequência do Teorema Fundamental do Cálculo temos que a derivada da área A {\displaystyle A} é igual a função f ( x ) , {\displaystyle f(x),} i.e. A ′ ( x ) = f ( x ) {\displaystyle A'(x)=f(x)} .
O teorema fundamental do cálculo fornece a principal ferramenta para o cálculo de integrais, pois ao conhecer uma função F ( x ) {\displaystyle F(x)} cuja derivada é igual ao integrando f ( x ) {\displaystyle f(x)} , obtém-se a integral, que é igual a F ( x ) {\displaystyle F(x)} somada a uma constante C {\displaystyle C} que independe de x {\displaystyle x} . Tal constante é tradicionalmente adicionada após o término do cálculo da parte da integral que independe de x {\displaystyle x} . Valendo-se também que a integral da soma de duas funções é a soma das respectivas integrais e que a integral de uma função multiplicada por uma constante é a constante que multiplica a integral da função, pode-se compilar uma lista de integrais relacionadas às funções mais fundamentais, como polinômios, funções trigonométricas, a função exponencial e a função logarítmica. Por exemplo, a derivada da função F ( x ) = x 2 {\displaystyle F(x)=x^{2}} é f ( x ) = 2 x {\displaystyle f(x)=2x} . Portanto, como F {\displaystyle F} é antiderivada de f {\displaystyle f} , temos (omitindo a constante aditiva por conveniência) que:
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Suponhamos uma função f ( x ) {\displaystyle f(x)} e duas funções em escada t ( x ) {\displaystyle t(x)} e s ( x ) , {\displaystyle s(x),} onde t ( x ) ≤ f ( x ) ≤ s ( x ) {\displaystyle t(x)\leq f(x)\leq s(x)} para todo x ∈ R . {\displaystyle x\in \mathbb {R} .} Como as funções em escada possuem áreas definidas como retângulos, podemos achar funções em escada que formem retângulos com a bases cada vez mais estreitas, assim a soma das áreas dos retângulos se aproximam cada vez mais da área de f ( x ) {\displaystyle f(x)} . Portanto, temos que ∫ a b t ( x ) d x ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b s ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}t(x)dx\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq \int \limits _{a}^{b}s(x)dx} Onde a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} são os intervalos de integração. A base de cada retângulo de t ( x ) {\displaystyle t(x)} e s ( x ) {\displaystyle s(x)} é dada por b − a n {\displaystyle {\frac {b-a}{n}}}
Integral de polinômios
∑ k = 1 n − 1 k p < n p + 1 p + 1 < ∑ k = 1 n k p {\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}k^{p}<{\frac {n^{p+1}}{p+1}}<\sum _{k=1}^{n}k^{p}} Multiplicamos todos os termos por b p + 1 n p + 1 {\displaystyle {\frac {b^{p+1}}{n^{p+1}}}} b n ∑ k = 1 n − 1 ( k b n ) p < b p + 1 p + 1 < b n ∑ k = 1 n ( k b n ) p {\displaystyle {\frac {b}{n}}\sum _{k=1}^{n-1}\left({\frac {kb}{n}}\right)^{p}<{\frac {b^{p+1}}{p+1}}<{\frac {b}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {kb}{n}}\right)^{p}} Fazendo f ( x ) = x p {\displaystyle f(x)=x^{p}} e x k = k b n {\displaystyle x_{k}={\frac {kb}{n}}} para k = 0 , 1 , 2 , . . . , n {\displaystyle k=0,1,2,...,n} ficamos com b n ∑ k = 0 n − 1 f ( x k ) < b p + 1 p + 1 < b n ∑ k = 1 n f ( x k ) {\displaystyle {\frac {b}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(x_{k})<{\frac {b^{p+1}}{p+1}}<{\frac {b}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})}
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Fórmula das Primitivas
∫ a ⋅ x n d x = a ⋅ x n + 1 n + 1 {\displaystyle \int a\cdot x^{n}dx={\frac {a\cdot x^{n+1}}{n+1}}} Cada membro da função é tratado como uma função em separado, para em seguida ser efetuada a soma entre eles e gerar outra função, a função na qual se substitui o valor de X pelos valores do intervalo. Feito isso, usa-se o teorema do cálculo para chegar ao valor da integral. f ( x ) = x 2 + 2 x + 4 {\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+4} ∫ x 2 d x + ∫ ( 2 x ) d x + ∫ ( 4 ) d x {\displaystyle \int x^{2}dx+\int (2x)dx+\int (4)dx} Aqui usa-se a Fórmula da Primitiva em cada integral. x 2 + 1 2 + 1 + 2 ⋅ x 1 + 1 1 + 1 + 4 ⋅ x 0 + 1 0 + 1 {\displaystyle {\frac {x^{2+1}}{2+1}}+{\frac {2\cdot x^{1+1}}{1+1}}+{\frac {4\cdot x^{0+1}}{0+1}}}
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∫ a b d d x f ( x ) d x = f ( b ) − f ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {d}{dx}}f(x)dx=f(b)-f(a)} ∫ 0 3 ( x 2 + 2 x + 4 ) d x = 3 3 3 + 2 , 3 2 2 + 4 , 3 − 0 = 3 2 + 3 2 + 12 = 9 + 9 + 12 = 30 {\displaystyle \int _{0}^{3}(x^{2}+2x+4)dx={\frac {3^{3}}{3}}+{\frac {2,3^{2}}{2}}+4,3-0=3^{2}+3^{2}+12=9+9+12=30}
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Estas são as integrais de algumas das funções mais comuns: ∫ a b 1 d x = x | a b = ( b − a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}1dx=x|_{a}^{b}=(b-a)} (Integral da função constante) ∫ a b x d x = 1 2 x 2 | a b = 1 2 ( b 2 − a 2 ) {\displaystyle \int _{a}^{b}xdx={\frac {1}{2}}x^{2}|_{a}^{b}={\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2})} (Integral da função f(x) = x ) Por definição a barra f ( x ) | a b {\displaystyle f(x)|_{a}^{b}} é utilizada com o significado da diferença f ( b ) − f ( a ) {\displaystyle f(b)-f(a)}
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Uma das mais famosas aplicações das integrais é no conceito físico de trabalho. Na Física, o trabalho é definido como a quantidade de energia transferida ao aplicar-se uma força produzindo um deslocamento. Matematicamente, o trabalho realizado por uma força constante é expresso pela equaçãoː Onde W {\displaystyle W} é o trabalho (medido em Joules), F {\displaystyle F} a força (medida em newtons) e x {\displaystyle x} o deslocamento (medido em metros). Portanto, se temos uma força não constante, que varia em função da posição, temos que somar cada quantidade de trabalho produzida pela força em um deslocamento infinitesimal. Assim podemos integrar a força em relação ao deslocamentoː W = ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle W=\int _{a}^{b}f(x)dx} onde f ( x ) {\displaystyle f(x)} é a força em função da posição, e d x {\displaystyle dx} representa um deslocamento infinitesimal. Com base nas definições de integral, fica claro que esta integral representa a soma de cada trabalho exercido por uma força em deslocamentos infinitesimais.
Exemplo
Suponhamos que para mover uma partícula se aplica uma força dada pela função f ( x ) = x 2 + 2 x {\displaystyle f(x)=x^{2}+2x} onde x {\displaystyle x} é a posição da partícula. Para calcularmos o trabalho realizado ao mover a partícula da posição x = 1 {\displaystyle x=1} até à posição x = 3 , {\displaystyle x=3,} integramos a função em relação à posição: W = ∫ 1 3 ( x 2 + 2 x ) d x = x 3 3 + x 2 | 1 3 = 50 3 {\displaystyle W=\int _{1}^{3}(x^{2}+2x)dx={\frac {x^{3}}{3}}+x^{2}{\Biggr |}_{1}^{3}={\frac {50}{3}}}
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A integral pode ser generalizada para funções polares considerando funções polares em escada assim como na integral de funções em coordenadas cartesianas. Definindo uma função polar f {\displaystyle f} e duas funções polares em escada s {\displaystyle s} e t {\displaystyle t} que dividem a área sob f {\displaystyle f} em n {\displaystyle n} subintervalos abertos ( θ k − 1 , θ k ) {\displaystyle (\theta _{k-1},\theta _{k})} tal que s < f < t , {\displaystyle s<f<t,} temos cada subintervalo de s {\displaystyle s} como um arco de circunferência de raio s k {\displaystyle s_{k}} e de ângulo θ k − θ k − 1 {\displaystyle \theta _{k}-\theta _{k-1}} radianos (o mesmo para t k {\displaystyle t_{k}} ). Através da equação do arco de circunferência, temos que a área de cada subintervalo de s {\displaystyle s} é dada por 1 2 ( θ k − θ k − 1 ) s k 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}(\theta _{k}-\theta _{k-1})s_{k}^{2}}
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Para definições do processo de integração mais rigorosas veja os links abaixo:
