Teoria dos conjuntos
Teoria dos conjuntos ou de conjuntos é o ramo da lógica matemática que estuda conjuntos, que (informalmente) são coleções de elementos. Embora qualquer tipo de elemento possa ser reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é, em geral, investigada com elementos que são relevantes para os fundamentos da matemática.
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Temas matemáticos geralmente surgem e evoluem através de interações entre muitos pesquisadores. Teoria dos conjuntos, no entanto, foi fundada por um único artigo de 1874, por Georg Cantor: "A respeito de uma propriedade característica de todos os números algébricos reais". Desde o século V a.C., começando com o matemático grego Zenão de Eleia no ocidente e os primeiros matemáticos indianos no oriente, os matemáticos têm se debatido com o conceito de infinito. Especialmente notável é o trabalho de Bernard Bolzano na primeira metade do século XIX. A compreensão moderna do conceito de infinito começou em 1867–1871, com os trabalhos de Cantor em teoria dos números, teoria das funções e séries trigonométricas. Um encontro em 1872 entre Cantor e Richard Dedekind influenciou o pensamento de Cantor e culminou no artigo de Cantor 1874. O trabalho de Cantor inicialmente dividiu os matemáticos de sua época. Enquanto Karl Weierstrass e Dedekind apoiavam Cantor, Leopold Kronecker, hoje visto como um dos fundadores do construtivismo matemático, era contra. A teoria dos conjuntos cantoriana, afinal, tornou-se amplamente difundida, devido à utilidade dos conceitos cantorianos, tais como correspondência um-para-um entre conjuntos, sua prova de que há mais números reais que inteiros, e a "infinidade de infinitos" ("paraíso de Cantor") que a operação conjunto das partes dá origem. A utilidade da teoria dos conjuntos desembocou em 1898 no artigo "Mengenlehre" de Arthur Schoenflies para a Enciclopédia de Ciências Matemáticas organizada por Felix Klein e Wilhelm Franz Meyer.
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Teoria dos conjuntos começa com uma fundamental relação binária entre um objeto o e um conjunto A. Se o é um membro (ou elemento) de A, escreve-se o ∈ A. Uma vez que conjuntos são objetos, a relação de pertinência também pode relacionar conjuntos. Um conjunto é descrito listando seus elementos separados por vírgula ou através de alguma propriedade que determine seus elementos. Se todos os elementos do conjunto A também são elementos do conjunto B, então A é um subconjunto de B, denotado por A ⊆ B. Por exemplo, {1,2} é um subconjunto de {1,2,3} , mas {1,4} não é. A partir desta definição, é evidente que um conjunto é um subconjunto de si mesmo; nos casos em que se deseja evitar isso, o termo subconjunto próprio é definido para excluir esta possibilidade. Note que {1} é subconjunto, e não elemento, de {1,2,3}; note também que 1 é membro, e não subconjunto, de {1,2,3}. Assim como a aritmética caracteriza operações binárias sobre números, a teoria dos conjuntos caracteriza operações binárias sobre conjuntos. Uma lista parcial de tais relações:
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Um conjunto é puro se todos os seus membros são conjuntos, todos os membros de seus membros são conjuntos, e assim por diante. Por exemplo, o conjunto contendo apenas o conjunto vazio é um conjunto puro não vazio. Na teoria dos conjuntos moderna, é comum restringir a atenção para o universo de von Neumann de conjuntos puros, e muitos sistemas da teoria axiomática dos conjuntos são projetados para axiomatizar apenas os conjuntos puros. Há muitas vantagens técnicas com esta restrição, e pequena generalidade é perdida, uma vez que, essencialmente, todos os conceitos matemáticos podem ser modelados por conjuntos puros. Conjuntos no universo de von Neumann são organizados em uma hierarquia cumulativa, com base em quão profundamente seus membros, os membros de membros, etc, são aninhados. A cada conjunto nesta hierarquia é atribuído (por recursão transfinita) um número ordinal α {\displaystyle \alpha } , conhecido como a sua 'classe'. A classe de um conjunto puro X é definida como sendo uma mais do que o menor limitante superior das classes de todos os membros de X. Por exemplo, ao conjunto vazio é atribuída a classe 0, enquanto ao conjunto contendo somente o conjunto vazio é atribuída classe 1. Para cada α {\displaystyle \alpha } , o conjunto V α {\displaystyle V_{\alpha }} é definido como consistindo de todos os conjuntos puros com classe menor que α {\displaystyle \alpha } . O universo de von Neumann como um todo é denotado por V {\displaystyle V} .
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Teoria elementar dos conjuntos pode ser estudada de maneira informal e intuitiva, e por isso pode ser ensinada nas escolas primárias usando, por exemplo, diagramas de Venn. A abordagem intuitiva pressupõe que um conjunto pode ser formado a partir da classe de todos os objetos que satisfaçam qualquer condição particular de definição. Esta suposição dá origem a paradoxos, os mais simples e mais conhecidos dos quais são o paradoxo de Russell e o paradoxo de Burali-Forti. A teoria axiomática dos conjuntos foi originalmente concebida para livrar a teoria dos conjuntos de tais paradoxos.[nota 1] Os sistemas mais amplamente estudados da teoria axiomática dos conjuntos implicam que todos os conjuntos formam uma hierarquia cumulativa. Tais sistemas vêm em dois sabores, aqueles cuja ontologia consiste de: Os sistemas acima podem ser modificados para permitirem urelementos, objetos que podem ser membros de conjuntos, mas que não são eles próprios conjuntos e não tem nenhum membro.
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A teoria dos conjuntos é a principal área de pesquisa na matemática, com muitas subáreas inter-relacionados. Ademais, a teoria dos conjuntos é mais do que simplesmente descrever conjuntos. Do mesmo modo como, na aritmética, é possível aprender a aplicar operações aritméticas a números, por exemplo, adição ou multiplicação, também é possível definir operações teóricas de conjuntos que gerem novos conjuntos a partir de determinados conjuntos. Exemplificando, as uniões {1, 2} e {2, 3, 4} tornam-se {1, 2, 3, 4}; as interseções {1, 2} e {2, 3, 4} tornam-se {2}. Também há a possibilidade de formar Conjuntos de partes, ou seja, a família de todos os subconjuntos de um conjunto. Determinismo refere-se ao fato de que, sob os pressupostos adequados, certos dois jogadores são determinados desde o início no sentido de que um jogador deve ter uma estratégia vencedora. A existência dessas estratégias tem conseqüências importantes na teoria descritiva dos conjuntos, como a suposição de que uma classe mais ampla de jogos ser determinada muitas vezes implica que uma classe mais ampla de conjuntos possui uma propriedade topológica. O axioma do determinismo (AD) é um importante objeto de estudo, embora incompatível com o axioma da escolha, AD implica que todos os subconjuntos da reta real são bem comportados (em particular, mensuráveis e com a propriedade de conjunto perfeito). AD pode ser usado para provar que os graus de Wadge têm uma estrutura alinhada.
Teoria dos conjuntos combinatória
A teoria dos conjuntos combinatória preocupa-se com extensões da combinatória finita para conjuntos infinitos. Isto inclui o estudo da aritmética de cardinais e o estudo de extensões do teorema de Ramsey tais como o teorema de Erdos-Rado.
Teoria descritiva dos conjuntos
Teoria descritiva dos conjuntos é o estudo de subconjuntos da reta real e dos subconjuntos dos espaços poloneses. Ela começa com o estudo das pointclasses na hierarquia de Borel e se estende ao estudo de hierarquias mais complexas, como a hierarquia projetiva e a hierarquia de Wadge. Muitas propriedades dos conjuntos de Borel podem ser estabelecidas em ZFC, , mas a prova de que essas propriedades se verificam para conjuntos mais complicados requer axiomas adicionais relacionados com determinismo e grandes cardinais. O campo da teoria descritiva dos conjuntos efetiva está entre a teoria dos conjuntos e a teoria da recursão. Ele inclui o estudo de lightface pointclasses, e está intimamente relacionado com a teoria hiperaritmética. Em muitos casos, os resultados da teoria descritiva dos conjuntos clássica têm versões efetivas; em alguns casos, novos resultados são obtidos provando pela versão efetiva primeiro e depois estendendo-os ("relativizando-os") para torná-la mais amplamente aplicáveis.
Teoria dos conjuntos nebulosos
Na teoria dos conjuntos como Cantor definiu e Zermelo e Fraenkel axiomatizaram, um objeto ou é um membro de um conjunto ou não. Na teoria dos conjuntos fuzzy esta condição foi relaxada, e desta forma um objeto tem um grau de pertinência em um conjunto, como número entre 0 e 1. Por exemplo, o grau de pertinência de uma pessoa no conjunto de "pessoas altas" é mais flexível do que uma simples resposta "sim" ou "não" e pode ser um número real, tal como 0,75. Conjuntos fuzzy foram introduzidos simultaneamente por Lotfi A. Zadeh e Dieter Klaua em 1965 como uma extensão da noção clássica de conjunto. Na teoria dos conjuntos clássica, a associação de elementos em um conjunto é avaliada em termos binários de acordo com uma condição bivalente - um elemento ou pertence ou não pertence ao conjunto. Por outro lado, a teoria dos conjuntos fuzzy permite a avaliação gradual da participação de elementos em um conjunto, o que é descrito com a ajuda de uma função de pertinência valorada no intervalo unitário real [0, 1]. Conjuntos fuzzy generalizam conjuntos clássicos, visto que as funções indicadoras de conjuntos clássicos são casos especiais das funções de pertinência de conjuntos fuzzy, se estes só podem tomar os valores 0 ou 1. Na teoria dos conjuntos fuzzy, conjuntos clássicos bivalentes são geralmente chamados conjuntos crisp. A teoria dos conjuntos fuzzy pode ser usada em uma ampla variedade de áreas em que a informação é incompleta ou imprecisa, como na bioinformática.
Conjunto de partes
A família de todos os subconjuntos de um conjunto dado A {\displaystyle A} é chamado de conjunto de partes (ou conjunto potência ) de A {\displaystyle A} , denotado por P ( A ) {\displaystyle P(A)} ou 2 A {\displaystyle 2^{A}} .
Teoria do modelo interno
Um modelo interno da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) é uma classe transitiva que inclui todos os ordinais e satisfaz todos os axiomas de ZF. O exemplo canônico é o Universo construível L desenvolvido por Gödel. Uma das razões que torna o estudo de modelos internos interessante é que ele pode ser usado para provar resultados de consistência. Por exemplo, pode-se mostrar que, independentemente se um modelo V da ZF satisfaz a hipótese do continuum ou o axioma da escolha, o modelo interno L construído dentro do modelo original irá satisfazer tanto a hipótese do continuum generalizada quanto o axioma da escolha. Assim, a suposição de que ZF é consistente (tem qualquer modelo que seja) implica que ZF juntamente com estes dois princípios é consistente.
Grandes cardinais
Um grande cardinal é um número cardinal transfinito cujo caráter de "muito grande" está dado por uma propriedade extra, denominada propriedade de grande cardinal. Muitas destas propriedades são particularmente estudadas, incluindo cardinais inacessíveis, cardinais mensuráveis, cardinais compactos, entre outras. A existência de um cardinal com uma dessas propriedades não pode ser demonstrada na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, ZF, se ZF é consistente.
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Desde o início da teoria dos conjuntos, alguns matemáticos se opuseram a ela como um fundamento para a matemática, argumentando, por exemplo, que é apenas um jogo que inclui elementos de fantasia. A objeção mais comum à teoria dos conjuntos, um manifesto de Kronecker dos primeiros anos da teoria dos conjuntos, começou a partir da visão construtivista de que a matemática é vagamente relacionada à computação. Se este ponto de vista for admitido, então o tratamento de conjuntos infinitos, tanto na teoria ingênua dos conjuntos quanto na teoria axiomática dos conjuntos, introduz em matemática métodos e objetos que não são computáveis. Ludwig Wittgenstein questionou a forma como a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel manipulava infinitos. As visões de Wittgenstein sobre os fundamentos da matemática foram mais tarde criticadas por Georg Kreisel e Paul Bernays, e minuciosamente investigadas por Crispin Wright, entre outros.
