Análise de variância

A análise de variância compara médias de diferentes populações para verificar se essas populações possuem médias iguais ou não. Assim, essa técnica permite que vários grupos sejam comparados a um só tempo. Em outras palavras, a análise de variância é utilizada quando se quer decidir se as diferenças amostrais observadas são reais (causadas por diferenças significativas nas populações observadas) ou casuais (decorrentes da mera variabilidade amostral). Portanto, essa análise parte do pressuposto que o acaso só produz pequenos desvios, sendo as grandes diferenças geradas por causas reais.

Segundo Stigler os antecedentes da análise de variância existem desde há vários séculos tendo os métodos atingido maturidade no século XX. Este incluem testes de hipóteses, decomposição da soma dos quadrados, técnicas experimentais e o modelo aditivo. Laplace já realizava testes de hipóteses em 1770. Cerca de 1800, Laplace e Gauss desenvolveram o método dos mínimos quadrados para combinar observações melhorando métodos usados na época em astronomia e geodésica. Laplace sabia como estimar a variância a partir da soma dos quadrados dos resíduos (em vez do total). Em 1827 Laplace utilizava o método dos mínimos quadrados para resolver problemas de analise da variância sobre medições de correntes atmosféricas.

Os pressupostos básicos da análise de variância são: Na prática, esses pressupostos não precisam ser todos rigorosamente satisfeitos. Os resultados são empiricamente verdadeiros sempre que as populações são aproximadamente normais (isso é, não muito assimétricas) e têm variâncias próximas.

As hipóteses nula e alternativa da análise a serem testadas na análise de variância são:

Por se tratar de um teste bastante difundido, inúmeros softwares estatísticos e planilhas eletrônicas possuem o procedimento para ser aplicado automaticamente. Considerando uma variável de interesse com média μ e variância σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} temos dois estimadores da variância: S B 2 {\displaystyle \operatorname {S} _{B}^{2}} = dispersão entre os grupos (B ~ between) e S W 2 {\displaystyle \operatorname {S} _{W}^{2}} = dispersão dentro dos grupos (W ~ within) F = S B 2 ⁡ / S W 2 {\displaystyle \operatorname {F} =\operatorname {S} _{B}^{2}/\operatorname {S} _{W}^{2}} Com K - 1 {\displaystyle \operatorname {K-1} } graus de liberdade no numerador e N - K {\displaystyle \operatorname {N-K} } no denominador. Sendo K o número de fatores ou grupos e N o número de observações, e N - 1 {\displaystyle \operatorname {N-1} } = ( K - 1 {\displaystyle \operatorname {K-1} } ) + ( N - K {\displaystyle \operatorname {N-K} } )

O teste Enem foi aplicado pelo governo brasileiro nos 27 estados de Federação. Deseja-se descobrir se existe diferença significativa entre as médias de notas de cada Estado. Para isso, toma-se uma amostra aleatória de alunos de cada estado. Sabemos que k=número de populações é 27. O tamanho da amostra do estado 1 é n1 (por exemplo: 100 alunos do Acre), o tamanho da amostra do estado 2 é n2 e assim por diante. Calcula-se em seguida o desvio médio. Em seguida, eleva-se cada desvio ao quadrado e obtém-se a soma dos quadrados dos desvios de cada estado. Este resultado permite o cálculo da variância amostral. Na posse destes dados, é possível construir a "tabela ANOVA" (analysis of variance) (uma tabela para cada comparação):