Função contínua
Imagem: Túllio Melo · BY-SA · Openverse
"... f ( x ) {\displaystyle f(x)} será chamado de função contínua, se ... os valores numéricos da diferença f ( x + α ) − f ( x ) {\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)} diminuem arbitrariamente, conforme α {\displaystyle \alpha } varie ... " Cauchy (1821) introduziu o conceito de função contínua, onde pequenas variações em x produzem pequenas variações em y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} . Weierstrass (1874) reformulou a definição de Cauchy, onde a diferença f ( x ) − f ( x 0 ) {\displaystyle f(x)-f(x_{0})} será arbitrariamente pequena, se a diferença x − x 0 {\displaystyle x-x_{0}} for suficientemente pequena. Posteriormente, com um tratamento mais rigoroso da matemática e a consequente evolução do pensamento matemático, as funções contínuas foram abstraídas para outros campos além da análise: álgebra linear, álgebra abstrata, física matemática, etc..mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt,.mw-parser-output .hlist li{margin:0;display:inline}.mw-parser-output .hlist.inline,.mw-parser-output .hlist.inline dl,.mw-parser-output .hlist.inline ol,.mw-parser-output .hlist.inline ul,.mw-parser-output .hlist dl dl,.mw-parser-output .hlist dl ol,.mw-parser-output .hlist dl ul,.mw-parser-output .hlist ol dl,.mw-parser-output .hlist ol ol,.mw-parser-output .hlist ol ul,.mw-parser-output .hlist ul dl,.mw-parser-output .hlist ul ol,.mw-parser-output .hlist ul ul{display:inline}.mw-parser-output .hlist .mw-empty-li{display:none}.mw-parser-output .hlist dt::after{content:": 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Em matemática, uma função é contínua quando, intuitivamente, as pequenas variações nos objetos correspondem a pequenas variações nas imagens. Nos pontos onde a função não é contínua, diz-se que a função é descontínua, ou que se trata de um ponto de descontinuidade.
Espaço topológico
Diz-se que uma função f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} entre espaços topológicos é contínua se a imagem recíproca de qualquer aberto de Y {\displaystyle Y} é um aberto de X {\displaystyle X} . Estes exemplos usam propriedades da imagem recíproca, ou seja, dada uma função f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} e um conjunto A ⊂ Y , {\displaystyle A\subset Y,} o conjunto f − 1 ( A ) = { x ∈ X | f ( x ) ∈ A } . {\displaystyle f^{-1}(A)=\{x\in X|f(x)\in A\}.} Basta ver que, ∀ A ∈ Y {\displaystyle \forall A\in Y} aberto temos que, f − 1 ( A ) ∈ P ( X ) , {\displaystyle f^{-1}(A)\in P(X),} e portanto é aberto, o que mostra que f {\displaystyle f} é uma função contínua.
Equivalência das definições
Se E {\displaystyle E} e F {\displaystyle F} são espaços métricos, e τ E e τ F {\displaystyle \tau _{E}{\mbox{ e }}\tau _{F}} as topologias geradas pelas métricas em E {\displaystyle E} e F , {\displaystyle F,} então uma função f : E → F {\displaystyle f:E\rightarrow F} é contínua pela definição topológica se, e somente se, ela é contínua pela definição métrica.
Em termos de limites
Uma função f ( x ) {\displaystyle f(x)} é dita ser contínua em um ponto a {\displaystyle a} de seu domínio se: lim x → a f ( x ) = f ( a ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)} Observa-se que esta definição exige que o limite à esquerda exista assim como o limite da direita e que a função esteja definida no ponto com o mesmo valor de limite para o ponto.
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Uma função f : E → F , {\displaystyle f:E\rightarrow F,} em que E {\displaystyle E} e F {\displaystyle F} são espaços topológicos, é sequencialmente contínua em um ponto a ∈ E {\displaystyle a\in E} quanto ela comuta com o limite de sequências, ou seja, quando para toda sequência x i ∈ E {\displaystyle x_{i}\in E} cujo limite (em E {\displaystyle E} ) seja a , {\displaystyle a,} temos que o limite (em F {\displaystyle F} ) de f ( x i ) {\displaystyle f(x_{i})} é f ( a ) . {\displaystyle f(a).} Uma forma elegante de escrever isso é lim i → ∞ f ( x i ) = f ( lim i → ∞ x i ) . {\displaystyle \lim _{i\rightarrow \infty }f(x_{i})=f(\lim _{i\rightarrow \infty }x_{i}).}
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Álgebra linear
Considere um conjunto X ≠ ∅ {\displaystyle X\neq \emptyset } e o conjunto definido por todas as funções reais f , g : X → R {\displaystyle f,g:X\rightarrow \mathbb {R} } . Temos que, F ( X , R ) {\displaystyle F(X,\mathbb {R} )} assume a estrutura de espaço vetorial a partir das operações de soma e produto por escalar usuais de funções reais, a saber, ( f + g ) ( x ) := f ( x ) + g ( x ) e ( α f ) ( x ) := α . f ( x ) , {\displaystyle (f+g)(x):=f(x)+g(x)\quad e\quad (\alpha f)(x):=\alpha .f(x),} onde ( f , g ) ∈ F ( X , R ) × F ( X , R ) {\displaystyle (f,g)\in F(X,\mathbb {R} )\times F(X,\mathbb {R} )} e α ∈ R {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} } . Seja X = R {\displaystyle X=\mathbb {R} } e defina então o conjunto C ∘ ( R ) ⊂ F ( R , R ) {\displaystyle C^{\circ }(\mathbb {R} )\subset F(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )} das funções contínuas reais. Ora, visto que 0 F ( R , R ) ∈ C ∘ ( R ) {\displaystyle 0_{F(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}\in C^{\circ }(\mathbb {R} )} , a soma de funções contínuas é função contínua e que o produto por escalar é função contínua, temos que C ∘ ( R ) {\displaystyle C^{\circ }(\mathbb {R} )} é subespaço vetorial de F ( R , R ) {\displaystyle F(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )} .
Teorema da esfera cabeluda
O conceito de continuidade permite ser também para campos vetoriais, tendo então campos vetoriais contínuos. Com isso, temos uma aplicação belíssima do conceito de continuidade em um teorema chamado de Esfera Cabeluda. Eis sua interpretação, informalmente: "... muitos dos leitores confrontam-se todas as manhãs com o teorema da bola cabeluda, ao tentarem pentear o seu cabelo e verificando que há um redemoinho persistente no topo das suas cabeças. De um modo simplificado, o teorema afirma que não é possível “pentear-se” uma superfície esférica coberta de “cabelo” sem se formarem “redemoinhos” de algum tipo." Isto pelo fato da superfície esférica admite um campo vetorial contínuo. Também, o teorema da esfera cabeluda é uma consequência de um teorema de Poincaré sobre superfícies contínuas.
Gravação digital
As funções contínuas são muito úteis em gravações digitais, como por exemplo, em mídias de CD e DVD. Suponhamos que você esteja querendo gravar com seu celular uma aula de uma determinada disciplina. Como isso funciona? O(A) professor(a) emite uma onda sonora que é uma função contínua, porém como funções contínuas exigiriam uma capacidade de memória muito grande do seu celular (pois são infinitas), o que ele faz na verdade é gravar pedaços da onda sonora a cada segundo (isto é, com uma alta frequência), discretizando a função contínua. Com isso, seu celular tem informações suficientes para reproduzir o som como se fosse seu(sua) professor(a).
Administração e economia
A maioria das funções que modelam os fenômenos econômicos são de natureza discreta e possuem descontinuidades finitas, do tipo função escada. As funções preço e custo são discretas, devido à natureza da mercadoria, ou possuem descontinuidade pois o custo e preço decrescem (crescem) instantaneamente. As funções oferta e demanda também são comumente discretas e apresentam descontinuidades.
