Axioma de Pasch
O Axioma de Pasch é um axioma na geometria euclidiana usado implicitamente por Euclides que não poderia ser derivado dos postulados fornecidos por ele. O axioma foi criado por Moritz Pasch em 1882.
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O axioma de Pasch pode ser definido da seguinte forma: "Dados três pontos A {\displaystyle \scriptstyle A} , B {\displaystyle \scriptstyle B} e C {\displaystyle \scriptstyle C} , não colineares e uma reta r {\displaystyle \scriptstyle r} no plano determinado por estes três pontos, e que não contém nenhum deles, se r {\displaystyle \scriptstyle r} passa por um ponto de A C ¯ {\displaystyle \scriptstyle {\overline {AC}}} então também passa por um ponto de B C ¯ {\displaystyle \scriptstyle {\overline {BC}}} ou de A B ¯ {\displaystyle \scriptstyle {\overline {AB}}} ."
Em outros tratados da geometria euclidiana, utilizando diferentes axiomas, o axioma de Pasch pode ser provado como um teorema. Uma das variações deste axioma é denominado de "Postulado da separação do plano".
Moritz Pasch publicou este axioma em 1882 e demonstrou que os postulados de Euclides estavam incompletos. David Hilbert e Robin Hartshorne utilizam o axioma como seu quarto ou quinto — a depender da edição — axioma de ordenamento. O axioma proposto compõe o sistema de axiomas de Pasch, que foi gradualmente aperfeiçoado por Hilbert, Hartshorne, Giuseppe Peano e Oswald Veblen.
