Conjectura de Andrica

é válida ∀ n {\displaystyle \forall n} (para todo n), onde p n {\displaystyle p_{n}} representa o n-ésimo número primo. Se g n = p n + 1 − p n {\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}} denota a n-ésima diferença entre dois primos, a conjectura de Andrica pode ser reescrita como

Imran Ghory usou os dados sobre as maiores diferenças entre dois primos consecutivos para confirmar a veracidade da conjectura para n {\displaystyle n} maior que 1,3002 × 1016. Usando tabelas maiores, a confirmação dos valores foi estendida exaustivamente para 4 × 1018. A função discreta A n = p n + 1 − p n {\displaystyle A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}} e seus gráficos são mostrados ao lado. Os maiores valores de A n {\displaystyle A_{n}} ocorrem para n = 1, 2, and 4, com A4 ≈ 0.670873..., sem valores maiores para os próximos 105 primeiros primos. Como a função de Andrica decresce assintoticamente conforme n aumenta, , uma diferença entre primos precisa fazer o valor da diferença ser maior conforme n se torna maior. Isso indica fortemente que a conjectura é verdadeira, ainda que ainda não tenha sido provada nem refutada.

Uma generalização da conjectura de Andrica pode ser feita levando em conta a seguinte equação: onde p n {\displaystyle p_{n}} é on-ésimo número primo e x pode ser qualque número positivo. A maior solução para o possível valor de x é fácil de ocorrer para n = 1 {\displaystyle n=1} , quando xmax = 1. Se conjectura que a menor solução x é xmin ≈ 0.567148... (sequência A038458 na OEIS) que ocorre para n = 30. Essa conjectura também pode ser apresentada como uma desigualdade, a conjectura de Andrica generalizada:

A conjectura ainda não foi provada nem refutada, apesar de haver fortes indícios de que esta seja verdadeira.