Conjectura de Agoh–Giuga
A Conjectura de Agoh-Giuga é um dos problemas não-resolvidos da matemática relacionado com a distribuição dos números primos e os números de Bernoulli. Seu nome é homenagem a Takashi Agoh e Giuseppe Giuga.
A conjectura afirma que, p é um número primo se e somente se Onde Bk é o k-ésimo número de Bernoulli. Esta é a formulação atual da conjectura é de 1990, devido a Agoh. Uma formulação equivalente, feita por Giuga em 1950, afirma que p é um número primo se equação que também pode ser escrita da seguinte forma utilizando notação de somatório: É fácil mostrar que p ser primo é condição suficiente para o lado esquerdo da equivalência ser satisfeito, uma vez que podemos utilizar o pequeno teorema de Fermat, que enuncia que, se p é primo, para α = 1 , 2 , … , p − 1 {\displaystyle \alpha =1,2,\dots ,p-1} , e a equivalência segue como consequência direta, já que p − 1 ≡ − 1 ( mod p ) . {\displaystyle p-1\equiv -1{\pmod {p}}.}
A conjectura ainda não foi provada para um número n quando este não é primo (ou seja, quando n é composto). Apesar disso, já foi demonstrado que um número composton satisfaz a fórmula se e somente se este é um número de Carmichael e um número de Giuga, e se este de fato existir, tem pelo menos 13800 dígitos. Laerte Sorini, em um trabalho de 2001, mostrou que um possível contra-exemplo deve ser um número n maior que 1036067.
A conjectura de Agoh–Giuga guarda certas semelhanças com o Teorema de Wilson, que já foi provado como sendo verdadeiro. O Teorema de Wilson nos diz que p é um número primo se e somente se onde pode ser reescrito usando a notação de produtório como: enquanto para p=2 (o único primo par), temos que: Então, a veracidade da Conjectura de Agoh–Giuga combinada com o Teorema de Wilson nos fornece a seguinte afirmação:
Vários tipos de programas podem ser feitos para testar a conjectura de Agoh-Giuga, sendo um importante recurso para a matemática computacional. Abaixo, tem-se uma versão para Python, que testa a conjectura para os números entre 1 e 500:
