Conjectura de Firoozbakht

A conjectura afirma que p n n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{p}}_{n}} , em que p n {\displaystyle p_{n}} é o n {\displaystyle n} -ésimo primo, é uma função de n {\displaystyle n} estritamente decrescente, isto é, vale: p n + 1 n + 1 < p n n {\displaystyle {\sqrt[{n+1}]{p}}_{n+1}<{\sqrt[{n}]{p}}_{n}} ou, de maneira equivalente, p n + 1 < p n 1 + 1 / n {\displaystyle p_{n+1}<p_{n}^{1+1/n}} para todo n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} .[nota 1] Não há um consenso sobre a veracidade da conjectura.

Ao utilizar uma tabela observando intervalos maximais, Firoozbakht verificou que a conjectura valia até 4 , 444 × 10 12 {\displaystyle 4,444\times 10^{12}} . Atualmente, com tabelas maiores de intervalos maximais, a conjectura foi verificada para todos os primos 2 64 ≈ 1 , 84 × 10 19 {\displaystyle 2^{64}\thickapprox 1,84\times 10^{19}} . Se a conjectura for verdadeira, então a função de intervalo entre primos g n = p n + 1 − p n {\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}} satisfari g n < ( log ⁡ p n ) 2 − log ⁡ p n {\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}} para n ⩾ 5 {\displaystyle n\geqslant 5} e g n < ( log ⁡ p n ) 2 − log ⁡ p n − 1 {\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}-1} para n ⩾ 10 {\displaystyle n\geqslant 10} .[nota 2] Esse limite por cima criada para números primos é mais forte do que a conjectura de Cramér. Ao se mostrar como uma forma mais forte do que Cramér, é inconsistente com as heurísticas de Andrew Granville e János Pintz e de Helmut Maier que sugerem que

Se a conjectura for verdadeira, outras conjecturas se tornam verdadeiras: