Conjunto gerador de um grupo

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Se S é finito, então um grupo G = <S> é chamado finitamente gerado. A estrutura de grupos abelianos finitamente gerados em particular é facilmente descrito. Muitos teoremas que são verdadeiros pelos grupos finitamente gerados falham por grupos em geral. Tem sido provado que se um grupo infinito é gerado por um subconjunto S, então cada elemento do grupo pode ser expresso como uma palavra do alfabeto S de comprimento menor do que ou igual ao comprimento do grupo. Todo grupo finito é finitamente gerado desde que <G> = G. A adição dos inteiros é um exemplo de um grupo infinito que é finitamente gerado por ambos 1 e -1, mas o grupo de adição dos racionais não pode ser definido como finitamente gerado. Diferentes subconjuntos do mesmo grupo podem ser subconjuntos gerados; por exemplo, se p e q são inteiros com mdc(p, q) = 1, então {p, q} também geram o grupo de adição de inteiros pela Identidade de Bézout.

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O grupo mais geral gerado por um conjunto S é o grupo livremente gerado por S. Todo grupo gerado por S é isomórfico ao quociente deste grupo, uma característica que é usada em expressões de uma apresentação do grupo.

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Um tópico interessante é a dos não-geradores. Um elemento x do grupo G é um não-gerador se todo conjunto S contém x que gera G, ainda gera G quando x é removido de S. Nos inteiros com adição, o único não-gerador é 0. O conjunto de todos os não-geradores forma um subgrupo de G, o subgrupo Frattini.

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A união de grupos U(Z9) é o grupo de todos os inteiros relativamente primos a 9 sob multiplicação de mod 9 (U9 = {1, 2, 4, 5, 7, 8}). Toda aritmética aqui está feita em módulo 9. Sete não é gerador de U(Z9), já que { 7 i ( mod 9 ) | i ∈ N } = { 7 , 4 , 1 } . {\displaystyle \{7^{i}{\pmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{7,4,1\}.} { 2 i ( mod 9 ) | i ∈ N } = { 2 , 4 , 8 , 7 , 5 , 1 } . {\displaystyle \{2^{i}{\pmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{2,4,8,7,5,1\}.} Por outro lado, para n > 2 o grupo simétrico de grau n não é cíclico, então não é gerado por qualquer outro elemento. Contudo, é gerado pelas duas permutações (1 2) e (1 2 3 ... n). Por exemplo, para S3 temos: e = ( 12 ) ( 12 ) {\displaystyle e=(12)(12)} ( 12 ) = ( 12 ) {\displaystyle (12)=(12)} ( 13 ) = ( 12 ) ( 123 ) {\displaystyle (13)=(12)(123)} ( 23 ) = ( 123 ) ( 12 ) {\displaystyle (23)=(123)(12)} ( 123 ) = ( 123 ) {\displaystyle (123)=(123)} ( 132 ) = ( 12 ) ( 123 ) ( 12 ) {\displaystyle (132)=(12)(123)(12)}