Grupo trivial
Em matemática, um grupo trivial, grupo identidade ou grupo zero é um grupo que contém um único elemento. Todos esses grupos são isomorfos, por isso frequentemente se fala do grupo trivial. O único elemento do grupo trivial é o elemento identidade e geralmente é denotado como: 0, 1 ou , dependendo do contexto — isto é, da representação. Se a operação do grupo é denotada por , então ela é definida por .
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Dado qualquer grupo G {\displaystyle G} , o grupo consistindo apenas do elemento identidade é um subgrupo de G {\displaystyle G} e, sendo o grupo trivial, é chamado de subgrupo trivial de G {\displaystyle G} . O termo " G {\displaystyle G} não tem subgrupos próprios não triviais" refere-se ao fato de os únicos subgrupos de G {\displaystyle G} serem o grupo trivial { e } {\displaystyle \{e\}} e o próprio grupo G {\displaystyle G} .
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O grupo trivial é cíclico de ordem 1; como tal, pode ser denotado Z 1 {\displaystyle \mathrm {Z} _{1}} ou C 1 {\displaystyle \mathrm {C} _{1}} . Se a operação do grupo é chamada de adição, o grupo trivial geralmente é denotado por 0. Se a operação do grupo é chamada de multiplicação, então 1 pode ser uma notação para o grupo trivial. A combinação dessas operações leva ao anel trivial, no qual as operações de adição e multiplicação são idênticas e 0 = 1 {\displaystyle 0=1} . O grupo trivial serve como o objeto zero na categoria de grupos, o que significa que é tanto um objeto inicial quanto um objeto terminal. O grupo trivial pode ser transformado em um grupo (bi-)ordenado ao equipá-lo com a ordem não estrita trivial ≤ {\displaystyle \leq } .
