Função sobrejectiva
Em matemática, uma função de um conjunto para um conjunto é sobrejetiva, se para todo elemento no contradomínio de houver pelo menos um elemento no domínio de tal que Ou seja, quando o conjunto imagem coincide com o contradomínio da função. Não é necessário que seja único; a função pode apontar um ou mais elementos de para o mesmo elemento de
Uma função sobrejetiva é uma função cuja imagem é igual ao seu contradomínio. Equivalentemente, uma função f {\displaystyle f} com domínio X {\displaystyle X} e contradomínio Y {\displaystyle Y} é comutativa se para todo y {\displaystyle y} em Y {\displaystyle Y} existir pelo menos um x {\displaystyle x} em X {\displaystyle X} com f ( x ) = y . {\displaystyle f(x)=y.} Sobrejeções são por vezes denotadas por uma seta para a direita de duas cabeças (.mw-parser-output .monospaced{font-family:monospace,monospace}U+21A0 ↠ RIGHTWARDS TWO HEADED ARROW), como em f : X ↠ Y . {\displaystyle f:X\twoheadrightarrow Y.} ∀ y ∈ Y , ∃ x ∈ X , f ( x ) = y . {\displaystyle \forall y\in Y,\,\exists x\in X,\;\;f(x)=y.}
Uma função é bijetiva se e somente se for ao mesmo tempo sobrejetiva e injetiva. Se (como é feito frequentemente) uma função é identificada com seu gráfico, então a sobrejetividade não é uma propriedade da função em si, mas sim uma propriedade do mapeamento. Isto é, a função junto com seu contradomínio. Ao contrário da injetividade, a sobrejetividade não pode ser lida do gráfico da função sozinha.
Sobrejeções como funções invertíveis à direita
A função g : Y → X {\displaystyle g:Y\rightarrow X} é dita como uma inversa à direita da função f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} se f ( g ( y ) ) = y {\displaystyle f(g(y))=y} para todo y {\displaystyle y} em Y {\displaystyle Y} ( g {\displaystyle g} pode ser desfeita por f {\displaystyle f} ). Em outras palavras, g {\displaystyle g} é uma inversa à direita de f {\displaystyle f} se a composição f ∘ g {\displaystyle f\circ g} de g {\displaystyle g} e f {\displaystyle f} nessa ordem for a função de identidade no domínio Y {\displaystyle Y} de g . {\displaystyle g.} A função g {\displaystyle g} não precisa ser um inverso completo de f {\displaystyle f} porque a composição na outra ordem, g ∘ f , {\displaystyle g\circ f,} pode não ser a função de identidade no domínio X {\displaystyle X} de f . {\displaystyle f.} Em outras palavras, f {\displaystyle f} pode desfazer ou "inverter" g , {\displaystyle g,} mas não pode necessariamente ser revertida por ela.
Sobrejeções como epimorfismos
Uma função f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} é sobrejetiva se e somente se for cancelável à direita: dadas quaisquer funções g , h : Y → Z , {\displaystyle g,h:Y\rightarrow Z,} sempre que g ∘ f = h ∘ f , {\displaystyle g\circ f=h\circ f,} então g = h . {\displaystyle g=h.} Esta propriedade é formulada em termos de funções e sua composição e pode ser generalizada à noção mais geral dos morfismos de uma categoria e sua composição. Morfismos canceláveis à direita são chamados de epimorfismos. Especificamente, funções sobrejetivas são precisamente os epimorfismos na categoria dos conjuntos. O prefixo epi é derivado da preposição grega ἐπί significando acima, em.
Sobrejeções como relações binárias
Qualquer função com o domínio X {\displaystyle X} e o contradomínio Y {\displaystyle Y} pode ser vista como uma relação binária esquerda-total e direita-única entre X {\displaystyle X} e Y , {\displaystyle Y,} identificando-a com seu gráfico de funções. Uma função sobrejetiva com o domínio X {\displaystyle X} e o contradomínio Y {\displaystyle Y} é então uma relação binária entre X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} que é única na direita e tanto na esquerda como na total.
Cardinalidade do domínio de uma sobrejeção
A cardinalidade do domínio de uma função sobrejetiva é maior ou igual à cardinalidade de seu contradomínio: Se f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} é uma função sobrejetiva, então X {\displaystyle X} tem pelo menos tantos elementos quanto Y , {\displaystyle Y,} no sentido de números cardinais. (A prova apela ao axioma da escolha para mostrar que existe uma função g : Y → X {\displaystyle g:Y\rightarrow X} satisfazendo f ( g ( y ) ) = y {\displaystyle f(g(y))=y} para todo y {\displaystyle y} em Y . {\displaystyle Y.} g {\displaystyle g} é facilmente vista como sendo injetiva, portanto a definição formal de | Y | ≤ | X | {\displaystyle |Y|\leq |X|} é satisfeita.)
Composição e decomposição
A composta de funções sobrejetivas é sempre sobrejetiva: Se f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g} são ambas sobrejetivas, e o contradomínio de g {\displaystyle g} é igual ao domínio de f , {\displaystyle f,} então f ∘ g {\displaystyle f\circ g} é sobrejetiva. Inversamente, se f ∘ g {\displaystyle f\circ g} é sobrejetiva, então f {\displaystyle f} é sobrejetiva (mas g , {\displaystyle g,} a função aplicada primeiro, não precisa ser). Essas propriedades generalizam desde as rejeições na categoria de conjuntos até quaisquer epimorfismos em qualquer categoria. Qualquer função pode ser decomposta em uma injeção e uma injeção: Para qualquer função h : X → Z {\displaystyle h:X\rightarrow Z} existe uma sobrejeção f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} e uma injeção g : Y → Z {\displaystyle g:Y\rightarrow Z} tal que h = g ∘ f . {\displaystyle h=g\circ f.} Para entender isso, defina Y {\displaystyle Y} como sendo o conjunto de pré-imagens h − 1 ( z ) {\displaystyle h^{-1}(z)} onde z {\displaystyle z} está em h ( X ) . {\displaystyle h(X).} Essas pré-imagens são disjuntas e particionam X . {\displaystyle X.} Então f {\displaystyle f} carrega cada x {\displaystyle x} para o elemento de Y {\displaystyle Y} que o contém, e g {\displaystyle g} transporta cada elemento de Y {\displaystyle Y} para o ponto em Z {\displaystyle Z} para o qual h {\displaystyle h} envia seus pontos. Então, f {\displaystyle f} é sobrejetiva, pois é um mapa de projeção e g {\displaystyle g} é injetiva por definição.
Sobrejeção induzida e bijeção induzida
Qualquer função induz uma sobrejeção restringindo seu contradomínio ao seu alcance. Qualquer função sobrejetiva induz uma bijeção definida em um quociente de seu domínio, colapsando todos os mapeamentos de argumentos para uma determinada imagem fixa. Mais precisamente, cada sobrejeção f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} pode ser fatorada como uma projeção seguida por uma bijeção como segue. Seja A / ∼ {\displaystyle A/\!\sim } as classes de equivalência de A {\displaystyle A} sob a seguinte relação de equivalência: x ∼ y {\displaystyle x\sim y} se e somente se f ( x ) = f ( y ) . {\displaystyle f(x)=f(y).} Equivalentemente, A / ∼ {\displaystyle A/\!\sim } é o conjunto de todas as pré-imagens sob f . {\displaystyle f.} Seja P ( ∼ ) : A → A / ∼ {\displaystyle P(\sim ):A\rightarrow A/\!\sim } o mapa de projeção que envia cada x {\displaystyle x} em A {\displaystyle A} para sua classe de equivalência [ x ] ∼ , {\displaystyle [x]_{\sim },} e seja f P : A / ∼→ B {\displaystyle f_{P}:A/\!\sim \rightarrow B} a função bem definida dada por f P ( [ x ] ∼ ) = f ( x ) . {\displaystyle f_{P}([x]_{\sim })=f(x).} Então f = f P ∘ P ( ∼ ) . {\displaystyle f=f_{P}\circ P(\sim ).}
Para provar que uma função é sobrejetiva, temos que ter uma função f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} tal que a imagem i m ( X ) {\displaystyle im(X)} de f {\displaystyle f} é igual ao contradomínio Y . {\displaystyle Y.} Suponha um elemento y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} arbitrário e mostre que existe um elemento x ∈ X {\displaystyle x\in X} para que f ( x ) = y . {\displaystyle f(x)=y.}
Exemplo 1
Seja f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } tal que f ( x ) = x + 1. {\displaystyle f(x)=x+1.} Prova: Suponha y ∈ R . {\displaystyle y\in \mathbb {R} .} Temos f ( x ) = x + 1 = y {\displaystyle f(x)=x+1=y} o que implica x = y − 1. {\displaystyle x=y-1.} Note que ( y − 1 ) ∈ R {\displaystyle (y-1)\in \mathbb {R} } para todo y {\displaystyle y} em R . {\displaystyle \mathbb {R} .} Portanto, segue da definição que f {\displaystyle f} é sobrejetiva.
