Sistema de coordenadas cartesiano
O sistema de Coordenadas no plano cartesiano, também chamado de espaço cartesiano, é um esquema reticulado necessário para especificar pontos em um determinado "espaço" com dimensões.
A abcissa é a coordenada horizontal de um referencial plano de coordenadas cartesianas. Representando esse referencial sob a forma de um gráfico, obtemos a abcissa ( x {\displaystyle x} ) medindo a distância do ponto observado ao eixo das ordenadas (y), perpendicular ao eixo das abcissas. É representada pela incógnita x {\displaystyle x} num gráfico tipo ( x , y ) , {\displaystyle (x,y),} o que significa que representa o objeto sobre o qual a função opera, convertendo-o na sua imagem ( y {\displaystyle y} ). Todo ponto que pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares (1º e 3º quadrantes) apresenta ordenada igual a abcissa ( y = x {\displaystyle y=x} ). Todo ponto que pertença à bissetriz dos quadrantes pares (2° e 4° quadrantes) apresenta ordenada igual ao simétrico da abcissa ( y = − x {\displaystyle y=-x} ). A ordenada é a coordenada vertical de um ponto num referencial plano de coordenadas cartesianas. Representando este referencial sob a forma de um gráfico, obtemos a ordenada ( y {\displaystyle y} ) medindo a distância do ponto observado ao eixo das abcissas ( x {\displaystyle x} ), paralelamente ao eixo das ordenadas.
Com base nestes princípios, imaginemos que o nosso universo é uma linha, ou seja, imagine se não pudéssemos enxergar mais que uma direção e dois sentidos, então nessa linha teríamos um ponto de partida, ao qual chamamos de origem, ao passo que temos dois lados para ir, adotamos a convenção em que o sinal nos informa o sentido em que caminhamos: para a direita positivo, para a esquerda negativo. Cada ponto sobre a reta tem uma distância da origem, à qual chamamos amplitude, ou módulo. Desta forma, temos o nosso sistema bem caracterizado. Um sistema de referência como tal é chamado de sistema em uma dimensão, porém não é algo muito útil, no entanto se adicionarmos mais uma reta na origem, formando um ângulo reto com a reta anterior, poderemos referenciar uma segunda direção, agora temos um sistema em duas dimensões, que nos permite localizar um ponto acima e abaixo, além da direita ou esquerda. Se fizermos a mesma analogia e colocarmos uma terceira reta sobre a origem do sistema anterior, fazendo um ângulo reto com ambas as retas anteriores, poderemos localizar um objeto para frente ou para trás, além de acima ou abaixo e além da direita e esquerda, então teremos um sistema em três dimensões.
Localização de pontos
Agora observe o sistema representado na figura. Nele podemos observar a distribuição das variáveis em seus eixos, note que o eixo vertical correspondente à altura é convencionado como eixo z , {\displaystyle z,} o horizontal, correspondente à largura é convencionalmente chamado de eixo x , {\displaystyle x,} enquanto que o último, na diagonal em relação ao observador, correspondente à profundidade, é chamado de eixo y , {\displaystyle y,} cada segmento de eixo partindo da origem gera um octante, visto que o sistema tem oito subplanos partindo da origem. A tripla ordenada no formato ( x , y , z ) , {\displaystyle (x,y,z),} corresponde a um único ponto no sistema, o qual é encontrado através do reflexo dos valores nos eixos, da seguinte forma:
Planos primários
Definimos planos primários como o conjunto de pontos sobre o gráfico que estão equidistantes dos planos formados por qualquer combinação de dois eixos. Suponha que definimos um dos valores da tripla ordenada, por exemplo: Onde a {\displaystyle a} é uma constante. Temos, em cada caso, um plano definido como paralelo ao plano dos dois eixos restantes, pois qualquer valor que seja dado às demais variáveis da tripla ordenada será projetado sobre o plano que foi definido.
Distância entre pontos
Em um sistema bidimensional, a distância entre dois pontos A ( x A , y A ) {\displaystyle A(x_{A},y_{A})} e B ( x B , y B ) {\displaystyle B(x_{B},y_{B})} vem, pelo teorema de Pitágoras, A B ¯ 2 = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 {\displaystyle {\overline {AB}}^{2}=(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}} A B ¯ = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 {\displaystyle {\overline {AB}}={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}} Para um sistema tridimensional a analogia segue o mesmo raciocínio: A B ¯ = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2 {\displaystyle {\overline {AB}}={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}}} Numa generalização a N {\displaystyle N} dimensões, a distância entre A ( a 1 , a 2 , . . . , a N ) {\displaystyle A(a_{1},a_{2},...,a_{N})} e B ( b 1 , b 2 , . . . , b N ) {\displaystyle B(b_{1},b_{2},...,b_{N})} é
Distância entre um ponto e uma reta
Quando se deseja descobrir a distância de um ponto P {\displaystyle P} à uma reta r , {\displaystyle r,} deseja-se saber o menor caminho entre os dois. Para isso devemos achar um ponto Q {\displaystyle Q} da reta, tal que a distância entre esse ponto e o ponto P {\displaystyle P} seja mínimo. D P − r = | a x 0 + b y o + c | x 0 2 + y 0 2 {\displaystyle D_{P-r}={{|ax_{0}+by_{o}+c|} \over {\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}}}
A esfera
Por definição, a esfera é o conjunto de todos os pontos no espaço que estão equidistantes de um ponto específico, ao qual denominamos centro. Considerando que as coordenadas de qualquer ponto são ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} e que podemos especificar um ponto de coordenadas ( h , k , l ) , {\displaystyle (h,k,l),} a distância entre os pontos é: D 3 a b = ( x − h ) 2 + ( y − k ) 2 + ( z − l ) 2 {\displaystyle D3_{ab}={\sqrt {(x-h)^{2}+(y-k)^{2}+(z-l)^{2}}}} Definimos D 3 a b = R , {\displaystyle D3_{ab}=R,} que é o raio da esfera, consequentemente: R 2 = ( x − h ) 2 + ( y − k ) 2 + ( z − l ) 2 {\displaystyle R^{2}=(x-h)^{2}+(y-k)^{2}+(z-l)^{2}}
