Curva
Em matemática, uma curva ou linha curva é, em termos gerais, um objeto semelhante a uma linha reta, mas que não é obrigatoriamente retilíneo. Tecnicamente, uma curva é o lugar geométrico ou trajetória seguida por um ponto que se move de acordo com uma ou mais leis especificadas, neste caso, as leis comporão uma condição necessária e suficiente para a existência do objeto definido. Frequentemente há maior interesse nas curvas em um espaço euclidiano de duas dimensões ou três dimensões.
Em topologia, uma curva é uma aplicação contínua cujo domínio é um intervalo. Mais precisamente, Seja I {\displaystyle I} um intervalo de números reais (isto é, um conexo subconjunto não vazio de R {\displaystyle \mathbb {R} } ). Então uma curva γ {\displaystyle \gamma } é uma função contínua γ : I → X {\displaystyle \gamma :I\rightarrow X} , em que X {\displaystyle X} é um espaço topológico. Por vezes também se chama curva à imagem dessa aplicação. Uma curva plana é uma curva para a qual X é o plano euclidiano — estes são os primeiros exemplos encontrados — ou em alguns casos o plano projetivo. Uma curva espacial é uma curva para a qual X é tridimensional, sendo geralmente o espaço euclidiano; uma curva torcida (skew curve) é uma curva espacial que não está contida em nenhum plano. Essas definições também se aplicam a curvas algébricas (veja abaixo). No entanto, no caso das curvas algébricas é muito comum não impor a restrição de que a curva tenha pontos definidos apenas sobre os números reais.
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Curvas n-dimensionais são frequentemente utilizadas na mecânica para representar a trajetória que uma partícula irá percorrer, se deslocando conforme o tempo passa. Assim sendo, é comum expressar as n coordenadas da posição da partícula como funções do tempo, em um vetor r de funções, sendo cada componente uma coordenada. Em muitos desses casos, é conveniente descrever o espaço não através dos vetores unitários cartesianos convencionais, mas de um conjunto análogo de vetores unitários mutuamente ortogonais que tenham a partícula como origem - ou seja, eles mudam a todo instante para continuarem acompanhando ela, sendo, portanto, vetores de funções do tempo. No caso n = 3, esses vetores são chamados de Tangente, Normal e Binormal - conhecidos como o Triedro de Frenet-Serret.
O Vetor Tangente
T é descrito como sendo o vetor unitário tangente à curva, que aponta na direção que a partícula está se movendo. Ora, pois a direção de tangência sempre será dada pela derivada, e para se ter um vetor unitário basta dividi-lo por sua norma, portanto T → = ( d r → / d t ) / ‖ ( d r → / d t ) ‖ {\displaystyle {\vec {T}}=(d{\vec {r}}/dt)/\lVert (d{\vec {r}}/dt)\rVert }
O Vetor Normal
N é descrito como sendo o vetor unitário ortogonal a T que aponta para o centro de curvatura da trajetória. Ora, pois se um vetor varia sua orientação no tempo mas não sua norma (é o caso de T), então sua derivada será justamente um vetor ortogonal a ele que aponta para o centro de curvatura de sua trajetória; e como já foi dito, um vetor se torna unitário se for dividido por sua norma; isso nos dá N → = ( d T → / d t ) / ‖ ( d T → / d t ) ‖ {\displaystyle {\vec {N}}=(d{\vec {T}}/dt)/\lVert (d{\vec {T}}/dt)\rVert }
O Vetor Binormal
B é descrito como sendo o vetor unitário ortogonal a ambos T e N, que aponte no sentido positivo do deslocamento da partícula. Ele será, portanto, dado por B → = T → × N → {\displaystyle {\vec {B}}={\vec {T}}\times {\vec {N}}}
Grandezas características de trajetórias de partículas
A curvatura em um ponto de uma trajetória representa a relação entre as alterações no vetor tangente unitário T e a função posição da partícula. Considerando C, uma função vetorial lisa no espaço bi ou tridimensional, parametrizada em termos de comprimento de arco s, podemos associar a intensidade de encurvamento de C com a taxa e variação de T em relação a s. Portanto, a curvatura de C, k = k ( s ) {\displaystyle k=k(s)} , é dada por k ( s ) = ‖ d T / d s ‖ = ‖ r ″ ( s ) ‖ {\textstyle k(s)=\lVert \operatorname {d} \!T/\operatorname {d} \!s\rVert =\lVert r''(s)\rVert } Assim, é possível observar que, se C for uma reta, a direção de T mantem-se constante. Logo, a derivada do vetor tangente unitário, nesse caso, é zero, bem como a curvatura de C, resultado esperado para o gráfico representado pela equação da reta.
Movimento de uma partícula ao longo de uma curva C
Existem fórmulas muito mais práticas quando queremos calcular a curvatura, essas podem ser obtidas a partir do estudo do movimento de partículas ao longo de uma curva C, oriundas de conceitos físicos. Utilizando conceitos físicos, temos a aceleração como, a → ( t ) = d v → d t {\displaystyle {\vec {a}}(t)={d{\vec {v}} \over dt}} Tomando o vetor velocidade como, o produto do módulo da velocidade pelo vetor tangente, e aplicando a regra da derivada do produto, temos, a → = d d x ( v T → ) = d v d x T → + v d T → d x {\displaystyle {\vec {a}}={d \over dx}(v{\vec {T}})={dv \over dx}{\vec {T}}+v{d{\vec {T}} \over dx}} Temos o primeiro termo da equação como a componente tangencial da aceleração,
