Equação de onda

Equações de onda são exemplos de equações diferenciais parciais hiperbólicas, mas existem muitas variações. Na sua forma mais simples, a equação de onda diz respeito a uma variável de tempo t, uma ou mais variáveis ​​espaciais x1, x2, …, xn, e uma função escalar u = u (x1, x2, …, xn; t), cujos valores poderiam modelar o deslocamento de uma onda. A equação de onda para u é: ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u {\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\nabla ^{2}u} onde ∇2 é o (espacial) Laplaciano e onde c é uma constante fixa. Soluções desta equação que são inicialmente zero, fora de alguma região restrita, propagar-se-ão na região a uma velocidade fixa em todas as direções espaciais, assim como ondas físicas a partir de uma perturbação localizada, a constante c é identificada com a velocidade de propagação da onda. Esta equação é linear, da mesma forma que a soma de quaisquer duas soluções é novamente uma solução: na física esta propriedade é chamada princípio da superposição.

Para uma equação de onda unidimensional é incomum que sua equação diferencial parcial envolva uma solução geral relativamente simples de ser encontrada. Desse modo, definindo novas variáveis​​: ξ = x − c t ; η = x + c t {\displaystyle \xi =x-ct\quad ;\quad \eta =x+ct} ∂ 2 u ∂ ξ ∂ η = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}=0} u ( ξ , η ) = F ( ξ ) + G ( η ) {\displaystyle u(\xi ,\eta )=F(\xi )+G(\eta )} u ( x , t ) = F ( x − c t ) + G ( x + c t ) {\displaystyle u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)} Em outras palavras, as soluções da equação de onda 1D são somas de um certo "viajando" função F e uma função G. "viajar" significa que a forma destas funções arbitrárias individuais no que diz respeito a X permanece, no entanto, as funções são deslocadas para a direita( função F) ou esquerda ( função G) a razão ct. Isso foi obtido por Jean le Rond d'Alembert. Outra forma de chegar a este resultado é notar que a equação de onda pode ser reescrita como:

O Problema de Valor Inicial e de Fronteira (PVIF) a seguir se trata do problema da corda elástica com extremidades fixas e sem a ação de forças externas, tal PVIF consiste no seguinte: ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ⋅ ∂ 2 u ∂ x 2 , 0 < x < L , t > 0 ; {\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\cdot {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}},0<x<L,t>0;} u ( 0 , t ) = 0 , u ( L , t ) = 0 , t ≥ 0 ; {\displaystyle u(0,t)=0,u(L,t)=0,t\geq 0;} u ( x , 0 ) = f ( x ) , ∂ u ∂ t ( x , 0 ) = g ( x ) ; 0 ≤ x ≤ L , {\displaystyle u(x,0)=f(x),{\partial u \over \partial t}(x,0)=g(x);0\leq x\leq L,} f ( 0 ) = f ( L ) = 0 e g ( 0 ) = g ( L ) = 0. {\displaystyle f(0)=f(L)=0\quad e\quad g(0)=g(L)=0.} A solução deste PVIF é dada pela soma das soluções dos problemas da corda elástica com deslocamento inicial não-nulo e da corda elástica com velocidade inicial não-nula. Para solucionar ambos os problemas, é utilizado o método da separação de variáveis.

Para a dedução da equação da onda bidimensional pode-se pensar no movimento de uma membrana esticada, como a de um tambor, por exemplo. Para tornar a dedução mais simples é preciso admitir certos pressupostos, os quais parecem deslocados da realidade, mas correspondem bem à pequenas deflexões em membranas muito finas: Definindo T como a força de tração por unidade de comprimento da membrana e considerando um pedaço pequeno dela, tem-se que as forças que agem sobre ele são tangentes à membrana e tem módulo calculado por T ∗ Δ x {\textstyle T*\Delta x} e T ∗ Δ y , {\textstyle T*\Delta y,} com Δ x {\textstyle \Delta x} e Δ y {\textstyle \Delta y} indicados na figura ao lado. Analisando as forças, tem-se que suas componentes horizontais são dadas por uma multiplicação do módulo pelo cosseno do ângulo. Dado que foi pressuposto que os ângulos são muito pequenos, o valor dos cossenos tende à um. A partir disso, tem-se que as componentes horizontais das forças são quase iguais, de modo a se anularem. Por consequência, se considera que a movimentação da membrana na direção horizontal é desprezível.