Forma canônica de Jordan
A forma canônica de Jordan (português brasileiro) ou forma canónica de Jordan (português europeu) é uma forma de representar uma matriz ou operador linear através de uma outra matriz semelhante à original que é quase uma matriz diagonal. No corpo dos números complexos, esta forma é uma matriz triangular superior, em que os únicos elementos não-nulos são aqueles da diagonal ou imediatamente acima da diagonal.
Seja T um operador linear de um K-espaço vetorial V de dimensão finita, sendo K o corpo R {\displaystyle \mathbb {R} } ou C {\displaystyle \mathbb {C} } .
Caso Real
Se K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } , escrevamos o polinômio característico de T na forma com λ r ≠ λ s {\displaystyle \lambda _{r}\neq \lambda _{s}} se r ≠ s {\displaystyle r\neq s} . Chama-se de um bloco de Jordan de ordem r à matriz quadrada de ordem r J ( λ ; r ) {\displaystyle J(\lambda ;r)} dada por que pode ser escrita através da soma de duas matrizes: onde N é uma matriz nilpotente, pois N r = 0 {\displaystyle N^{r}=0} . Se B 1 , … , B k {\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{k}} são matrizes quadradas, não necessariamente de ordens iguais, define-se diag ( B 1 , … , B k ) {\displaystyle \operatorname {diag} \ (B_{1},\ldots ,B_{k})} como sendo a matriz quadrada de ordem igual à soma das ordens de B 1 , … , B k {\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{k}} dada por
Caso Complexo
Se K = C {\displaystyle K=\mathbb {C} } , escrevamos o polinômio característico de T na forma onde α r + i β r {\displaystyle \alpha _{r}+i\beta _{r}} é uma raiz complexa de pT, com λ r ≠ λ s {\displaystyle \lambda _{r}\neq \lambda _{s}} e ( α r , | β r | ) ≠ ( α s , | β s | ) {\displaystyle (\alpha _{r},|\beta _{r}|)\neq (\alpha _{s},|\beta _{s}|)} se r ≠ s {\displaystyle r\neq s} . Se α + i β {\displaystyle \alpha +i\beta } é uma raiz complexa de p T ( λ ) {\displaystyle p_{T}(\lambda )} , define-se, analogamente à matriz J ( λ ; r ) {\displaystyle J(\lambda ;r)} ,
Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão finita e T um operador linear de V. Se K = C {\displaystyle K=\mathbb {C} } e com λ r ≠ λ s {\displaystyle \lambda _{r}\neq \lambda _{s}} se r ≠ s {\displaystyle r\neq s} , λ r ∈ C {\displaystyle \lambda _{r}\in \mathbb {C} } , então existe uma base na qual a matriz de T é da forma onde J 1 , … , J p {\displaystyle J_{1},\ldots ,J_{p}} são da forma J ( λ ; r ) , r ∈ N {\displaystyle J(\lambda ;r),\,r\in \mathbb {N} } e λ ∈ { λ 1 , … , λ n } {\displaystyle \lambda \in \{\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\}} . Se K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } e onde α r + i β r {\displaystyle \alpha _{r}+i\beta _{r}} é uma raiz complexa de pT com λ r ≠ λ s {\displaystyle \lambda _{r}\neq \lambda _{s}} e ( α r , β r ) ≠ ( α s , β s ) {\displaystyle (\alpha _{r},\beta _{r})\neq (\alpha _{s},\beta _{s})} se r ≠ s {\displaystyle r\neq s} ( β r > 0 {\displaystyle \beta _{r}>0} ), então existe uma base com relação à qual a matriz de T é da forma
A matriz de um operador T com relação a uma base qualquer é semelhante a uma matriz da forma J = diag ( J 1 , … , J p ) {\displaystyle J=\operatorname {diag} \ (J_{1},\ldots ,J_{p})} (caso complexo) ou J = diag ( J 1 , … , J p , R 1 , … , R q ) {\displaystyle J=\operatorname {diag} \ (J_{1},\ldots ,J_{p},R_{1},\ldots ,R_{q})} (caso real).
Blocos de Jordan com a mesma raiz
O teorema afirma, no caso complexo, que a matriz equivalente é da forma: mas é possivel que λ s = λ r {\displaystyle \lambda _{s}=\lambda _{r}\,} quando s ≠ r {\displaystyle s\neq r\,} Por exemplo, a matriz 4x4 abaixo está na forma canônica de Jordan: em que λ 1 = λ 2 = λ 3 = λ 4 = 42 {\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=\lambda _{4}=42\,} , m 1 = 2 {\displaystyle m_{1}=2\,} e m 2 = m 3 = 1 {\displaystyle m_{2}=m_{3}=1\,} .
Unicidade
A forma canônica de Jordan é única, a menos de permutações entre os blocos de Jordan.
