Exponencial matricial

Generalizando a série de Taylor para matrizes: f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}} para uma matriz, f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}} , sendo "a" como matriz nula, temos: e A = ∑ n = 0 ∞ A n n ! {\displaystyle e^{A}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}} . como o primiero termo da equação é A 0 {\displaystyle A^{0}} e sendo essa a matriz identidade, ficamos finalmente com: e A = I + ∑ n = 1 ∞ A n n ! {\displaystyle e^{A}=I+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}} .

Sejam A {\displaystyle A\,} e B {\displaystyle B\,} matrizes quadradas n × n {\displaystyle n\times n\,} e a {\displaystyle a\,} e b {\displaystyle b\,} números reais ou complexos arbitrários. Denotamos por I {\displaystyle I\,} a matriz identidade n × n {\displaystyle n\times n\,} e por O {\displaystyle O\,} a matriz nula de mesmas dimensões. A ∗ {\displaystyle A^{*}\,} indica a matriz transposta conjugada de A {\displaystyle A\,} e A T {\displaystyle A^{T}\,} denota a matriz transposta de A {\displaystyle A\,} . São válidas as seguintes propriedades:

Imaginemos que queremos calcular e A {\displaystyle e^{A}} sabendo que Calculemos A 2 , A 3 . . . A n {\displaystyle A^{2},A^{3}...A^{n}}

Um problema de valor inicial para um sistema de equações diferencias ordinárias lineares homogêneas com coeficientes constantes pode ser escrito na forma matricial: onde a incógnita y ( t ) {\displaystyle y(t)\,} é um vetor de dimensão n {\displaystyle n\,} que depende do tempo, y 0 {\displaystyle y_{0}\,} é a condição inicial e A {\displaystyle A\,} é uma matriz n × n {\displaystyle n\times n\,} . A solução deste sistema é dada por: A matriz E ( s ) {\displaystyle E(s)\,} definida como e s A {\displaystyle e^{sA}\,} pode ser interpretada como operador que associa cada condição inicial y 0 {\displaystyle y_{0}\,} à solução do sistema de equações no instante t 0 + s {\displaystyle t_{0}+s\,} . A exponencial matricial também pode ser usada para resolver o problema não-homogêcio associado pelo Método da variação de parâmetros, ou seja, busca-se por soluções da forma: Substituindo esta expressão na equação diferencial, temos: