História da lógica

Mozi, “Máster Mo”, um contemporâneo de Confúcio, é creditado como o fundador da escola Mohista, cujos ensinamentos lidavam com os problemas relacionados com a inferência e com as condições das conclusões corretas. Em particular, uma das escolas que cresceu além do Mohismo, os “the Logicians?”, são creditados por alguns estudiosos como sendo umas das primeiras escolas a investigar a lógica formal. Infelizmente, por causa da violência e das leis da dinastia Qin, essa linha de investigação desapareceu da China até a introdução da filosofia indiana pelos Budistas

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Os Nyaya Sutras do Akasapada Gautama são os centros da escola da Nyaya, uma das seis escolas ortodoxas da filosofia Hindu. Esta escola criou um rígido esquema de cinco membros de inferência envolvendo uma premissa inicial: uma razão, um exemplo, uma aplicação e uma conclusão. A filosofia idealista Budista foi a maior oponente dos Nayaykas. Nagarjuna, o fundador da Madhyamika “caminho do meio” desenvolveu uma análise conhecida como “catuskoti” ou tetralema. Mas foi com Dgnaga e o seu sucessor Dharmakirti que a lógica budista atingiu seu ápice. A base da analise deles é a definição da necessidade de uma dedução lógica, “vyapti”, também conhecida como concomitância ou “pervasion?”. Para esse fim uma doutrina chamada “apoha” ou diferenciação foi desenvolvido. As dificuldades envolvidas neste sistema, em parte, estimularam a escola dos neo-escolásticos de Navya-Nyaya, que introduziu a análise formal da inferência no século XVI.

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Na Grécia, duas importantes tradições emergiram. A Lógica estoica com as suas raízes em Euclides de Mégara, um pupilo de Sócrates, e é baseada na lógica proposicional que talvez foi a mais próxima da lógica moderna. Entretanto, a tradição que sobreviveu para mais tarde influenciar outras culturas foi a lógica aristotélica, o primeiro tratado grego sobre a sistematização da lógica. Na inspeção de Aristóteles sobre os silogismo há quem diga que existe uma interessante comparação com o esquema de inferência dos indianos e com a menos rígida discussão chinesa. Através do latim na Europa, e outras línguas mais ao oeste, como árabe e armênio, a tradição aristotélica era considerada uma codificação superior das leis do raciocínio. Somente no século XIX, com o maior familiaridade com a cultura clássica indiana e um conhecimento mais profundo da China é que essa percepção mudou.

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Após a morte de Muhamed, a lei islâmica desempenhou uma forte influência na formação dos padrões dos argumentos, o que permitiu uma argumentação romanceada no Kalan, mas essa influência foi amenizada por algumas ideias da filosofia grega que surgiram com o crescimento dos filósofos Mu’tazilah que tentaram combinar a lógica e o racionalismo da filosofia grega com a doutrina islâmica e mostrar que as duas estão inerentemente interligadas. A influência dos tratados gregos sobre os filósofos islâmicos foi crucial na aceitação da lógica grega pela Europa medieval, e os comentários de Averróis sobre o Órganon teve um papel importante no subseqüente desenvolvimento da lógica medieval européia. Apesar da sofisticação lógica de Al-Ghazali, o crescimento da escola Asharite lentamente sufocou os tratados em lógica do mundo islâmico.

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“Lógica medieval” (também conhecida como lógica escolástica) é a lógica aristotélica desenvolvida na era medieval no período de 1200-1600 d.C. Esta tradição foi fundamentada através de textos como o Tractatus do Pedro da Espanha (século XIII), cuja verdadeira identidade é desconhecida. Tomás de Aquino foi o filósofo que ousou mudar a antiga concepção tradicional, baseada em Platão e Agostinho, concebendo uma visão aristotélica, e desenvolvendo a escolástica tomista. Essa antiga tradição também recebeu diversas considerações diferentes no século XIV com as obras de William de Ockham (1287-1347) e Jean Buridan. As últimas obras dessa tradição são “Lógica” de John Poinsot (1589-1644, também conhecido como John de St Thomas), e o “Discussões Metafísicas” de Francisco Suarez (1548-1617).

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Esta tradição começou com o livro Lógica, ou a arte do pensamento ou Lógica de Port-Royal de Antoine Arnauld e Pierre Nicole. Publicado em 1662, esse livro foi a mais influente introdução em lógica até o início do século XX. Port-Royal Logic apresenta ao leitor uma doutrina cartesiana (onde uma proposta é uma combinação de ideias ao invés de termos) com uma estrutura que deriva da lógica aristotélica e medieval. O livro teve oito edições entre 1664 e 1700. Ele foi reimpresso em inglês ate o fim do século XIX. A descrição das proposições que Locke faz em Uma Tese a Respeito do Entendimento Humano é a mesma do Port-Royal. “Proposições verbais, que são palavras, são signos que representam nossas idéias, juntando-as ou separando-as em sentenças verdadeiras ou falsas. Então estas proposições consistem em juntar ou separar esse signos de acordo com as coisas que eles representam para concordar ou discordar.” (Locke, Uma Tese a Respeito do Entendimento Humano, IV. 5 6)

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Historicamente, René Descartes, deve ter sido o primeiro filósofo a utilizar as técnicas algébricas como meio de exploração científica. A ideia de um “cálculo do raciocínio” também foi cultivada por Gottfried Wilhelm Leibniz. Gottlob Frege no (Begriffschrift, ou ideografia) criou um sistema de representação simbólica para representar formalmente a estrutura dos enunciados lógicos e suas relações, e a invenção do cálculo dos predicados. Esta parte da decomposição funcional da estrutura interna das frases (substituindo a velha dicotomia analítica sujeito-predicado, herdada da tradição lógica aristotélica, pela oposição matemática função-argumento) e da articulação do conceito de quantificação (implícito na lógica clássica da generalidade), tornando assim possível a sua manipulação em regras de dedução formal. (os enunciados "para todo o x", "existe um x" que denotam operações de quantificação sobre variáveis lógicas têm a sua origem no seu trabalho fundador, ex: "Todos os humanos são mortais" se torna "Todos os X são tais que, se x é um humano então x é mortal.").

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O desenvolvimento da lógica moderna divide-se aproximadamente em cinco períodos: O período embrionário, de Gottfried Wilhelm Leibniz até 1847, quando a noção de um cálculo lógico foi discutida e desenvolvida, particularmente por Leibniz, mas nenhuma escola foi formada, e tentativas isoladas e periódicas foram abandonadas ou passaram despercebidas. O período algébrico, da Analysis de Boole às Vorlesungen de Ernst Schröder. Nesse período, houve mais praticantes e uma maior continuidade no desenvolvimento. O período logicista, da Begriffsschrift de Gottlob Frege até os Principia Mathematica de Bertrand Russell e Alfred North Whitehead. O objetivo da “escola logicista” era incorporar a lógica de todo o discurso matemático e científico em um único sistema unificado que, tomando como princípio fundamental que todas as verdades matemáticas são lógicas, não aceitava qualquer terminologia não lógica. Os principais logicistas foram Frege, Russell e o primeiro Ludwig Wittgenstein. Esse período culmina com os Principia, uma obra importante que inclui um exame minucioso e uma tentativa de solução das antinomias que haviam sido um obstáculo ao progresso anterior.

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Os nomes de Gödel e Tarski dominam a década de 1930, um período crucial no desenvolvimento da metamatemática — o estudo da matemática utilizando métodos matemáticos para produzir metateorias, ou seja, teorias matemáticas sobre outras teorias matemáticas. As primeiras investigações em metamatemática foram impulsionadas pelo programa de Hilbert. O trabalho em metamatemática culminou na obra de Gödel, que em 1929 demonstrou que uma sentença de primeira ordem é dedutível se, e somente se, for logicamente válida — isto é, se for verdadeira em toda estrutura para a sua linguagem. Esse resultado ficou conhecido como o Teorema da Completude de Gödel. Um ano depois, ele provou dois teoremas importantes, que mostraram que o programa de Hilbert era inalcançável em sua forma original. O primeiro estabelece que nenhum sistema consistente de axiomas, cujos teoremas possam ser enumerados por um procedimento efetivo como um algoritmo ou programa de computador, é capaz de provar todos os fatos sobre os números naturais. Para qualquer desses sistemas, sempre haverá enunciados sobre os números naturais que são verdadeiros, mas não demonstráveis dentro do sistema. O segundo afirma que, se tal sistema também for capaz de provar certos fatos básicos sobre os números naturais, então ele não pode provar a consistência de si próprio. Esses dois resultados são conhecidos como os Teoremas da Incompletude de Gödel, ou simplesmente o Teorema de Gödel.

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Após a Segunda Guerra Mundial, a lógica matemática se ramificou em quatro áreas de pesquisa inter-relacionadas, mas distintas: teoria dos modelos, teoria da prova, teoria da computabilidade e teoria dos conjuntos. Na teoria dos conjuntos, o método do forçamento revolucionou o campo ao fornecer um recurso robusto para construir modelos e obter resultados de independência. Paul Cohen introduziu esse método em 1963 para provar a independência da hipótese do continuum e do axioma da escolha em relação à teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel. Sua técnica, logo simplificada e estendida, passou a ser aplicada a muitos outros problemas em todas as áreas da lógica matemática. A teoria da computabilidade tem raízes nos trabalhos de Turing, Church, Kleene e Post nas décadas de 1930 e 40. Ela se desenvolveu em um estudo da computabilidade abstrata, que ficou conhecida como teoria da recursão. O método da prioridade, descoberto de forma independente por Albert Muchnik e Richard Friedberg nos anos 1950, trouxe avanços significativos na compreensão dos graus de insolubilidade e de estruturas relacionadas. Pesquisas em teoria da computabilidade de ordem superior demonstraram suas conexões com a teoria dos conjuntos. Os campos da análise construtiva e da análise computável foram desenvolvidos para estudar o conteúdo efetivo de teoremas matemáticos clássicos; por sua vez, inspiraram o programa da matemática reversa. Uma ramificação separada da teoria da computabilidade, a teoria da complexidade computacional, também foi caracterizada em termos lógicos como resultado de investigações sobre a complexidade descritiva.