Relação de ordem
Em matemática e em lógica matemática, especialmente em teoria dos conjuntos e em teoria das relações, uma relação de ordem é uma relação binária que pretende captar o sentido intuitivo de relações como o maior e o menor, o anterior e o posterior, etc. Foram definidos muitos tipos de relações de ordem e diferentes obras usam os termos "ordem" e "relação de ordem" de maneiras diversas, pelo qual existe uma ambiguidade na literatura. Os tópicos "relações de ordens" estão fortemente vinculados ao conjunto parcialmente ordenado.
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Definição 1: Ordem parcial ampla ou não estrita
Dado um conjunto A {\displaystyle A} e uma relação binária R {\displaystyle R} sobre A : {\displaystyle A:} R ⊆ A × A , {\displaystyle R\subseteq A\times A,} dizemos que R {\displaystyle R} é uma relação de ordem (parcial) ampla (ou não estrita) sobre A {\displaystyle A} se satisfaz as seguintes condições: ∀ x ∈ A R ( x , x ) {\displaystyle \forall \ x\in A\;\;R(x,x)} {\displaystyle } (ou seja, todo elemento está relacionado consigo mesmo); ∀ x , y ∈ A ( R ( x , y ) ∧ R ( y , x ) ⇒ x = y ) ; {\displaystyle \forall \ x,y\in A\;\left(R(x,y)\wedge R(y,x)\Rightarrow x=y\right);} e ∀ x , y , z ∈ A ( R ( x , y ) ∧ R ( y , z ) ⇒ R ( x , z ) ) {\displaystyle \forall \ x,y,z\in A\;\left(R(x,y)\wedge R(y,z)\Rightarrow R(x,z)\right)}
Definição 2: Ordem parcial estrita
Dado um conjunto A {\displaystyle A} e uma relação binária R {\displaystyle R} sobre A : {\displaystyle A:} R ⊆ A × A , {\displaystyle R\subseteq A\times A,} dizemos que R {\displaystyle R} é uma relação de ordem (parcial) estrita sobre A {\displaystyle A} se satisfaz transitividade e: ∀ x ∈ A ¬ R ( x , x ) {\displaystyle \forall \ x\in A\;\;\neg R(x,x)} {\displaystyle } (ou seja, nenhum elemento está relacionado consigo mesmo) Se uma relação R {\displaystyle R} satisfaz transitividade e irreflexividade, pode ser demonstrado que R {\displaystyle R} também satisfaz: ∀ x , y ∈ A ( R ( x , y ) ⇒ ¬ R ( y , x ) ) . {\displaystyle \forall \ x,y\in A\;\left(R(x,y)\Rightarrow \neg R(y,x)\right).}
Definição 3: Correspondência entre ordens estritas e amplas
Dada uma ordem estrita ou uma ordem ampla, pode ser definida a outra ordem correspondente, segundo: x ⩽ y ⇔ ( x < y ∨ x = y ) {\displaystyle x\leqslant y\Leftrightarrow \left(x<y\lor x=y\right)} x < y ⇔ ( x ⩽ y ∧ x ≠ y ) {\displaystyle x<y\Leftrightarrow \left(x\leqslant y\land x\neq y\right)}
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Dada um relação R , {\displaystyle R,} dizemos que x , y ∈ A , x ≠ y {\displaystyle x,y\in A,\;\;x\neq y} são incomparáveis, x ∥ y {\displaystyle x\parallel y} se e somente se ¬ R ( x , y ) {\displaystyle \neg R(x,y)} nem ¬ R ( y , x ) . {\displaystyle \neg R(y,x).} Uma relação de ordem linear ou total não têm elementos incomparáveis.
Definição 4: Totalidade ou linearidade
Sendo R {\displaystyle R} uma relação sobre A , {\displaystyle A,} no caso de uma ordem ampla, a totalidade (linearidade) está dada por: ∀ x , y ∈ A ( x ⩽ y ∨ y ⩽ x ) {\displaystyle \forall \ x,y\in A\left(x\leqslant y\lor y\leqslant x\right)} Também denominado "dicotomia". ∀ x , y ∈ A ( x ≠ y ⇒ x < y ∨ y < x ) {\displaystyle \forall \ x,y\in A\left(x\neq y\Rightarrow x<y\lor y<x\right)} Também denominado "tricotomia", pois pode ser escrito equivalentemente: ∀ x , y ∈ A ( x = y ∨ x < y ∨ y < x ) {\displaystyle \forall \ x,y\in A\left(x=y\lor x<y\lor y<x\right)} As ordens dos conjuntos numéricos, N {\displaystyle \mathbb {N} } , Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , R {\displaystyle \mathbb {R} } são lineares. Dado um conjunto A {\displaystyle A} com dois ou mais elementos, ℘ ( A ) , {\displaystyle {\wp }\left(A\right),} o conjunto das partes de A , {\displaystyle A,} não está linearmente ordenado por inclusão ( ⊆ ) {\displaystyle \left(\subseteq \right)} .
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A ideia intuitiva de densidade de uma ordem corresponde a conceber que entre dois elementos comparáveis existe uma quantidade infinita de elementos.
Definição 5: Densidade
Uma relação de ordem estrita, parcial ou total, é denominada densa se entre dois elementos sempre existe um outro: ∀ x , y ∈ A ( x < y ⇒ ∃ z ∈ S ( x < z < y ) ) {\displaystyle \forall \ x,y\in A\ \left(x<y\Rightarrow \exists \ z\in S\left(x<z<y\right)\right)}
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Se uma relação R {\displaystyle R} é uma ordem estrita, então a relação inversa de R : {\displaystyle R:} R − 1 = { ⟨ y , x ⟩ ∣ ⟨ x , y ⟩ ∈ R } {\displaystyle R^{-1}=\left\{\left\langle y,x\right\rangle \mid \left\langle x,y\right\rangle \in R\right\}} também é uma relação de ordem estrita. A inversa de " < {\displaystyle <} " é geralmente escrita " > {\displaystyle >} ". De maneira análoga, para uma relação de ordem ampla " ⩽ {\displaystyle \leqslant } " pode ser definida a sua inversa " ⩾ {\displaystyle \geqslant } ", que também é uma relação de ordem ampla. Apesar dessa propriedade ser denominada às vezes de "dualidade", não é uma dualidade em sentido estrito, como a que possuem as álgebras de Boole.
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Alguns elementos de um conjunto ordenado podem ser caraterizados usando a relação de ordem. Apesar das definições abaixo serem expressadas somente para ordens amplas, " ≤ {\displaystyle \leq } ", ou estritas, " < {\displaystyle <} ", definições correspondentes podem ser estabelecidas usando Definição 3.
Mínimo e máximo
Dada uma relação de ordem ampla ⩽ {\displaystyle \leqslant } sobre um conjunto A , {\displaystyle A,} um elemento a ∈ A {\displaystyle a\in A} é denominado mínimo ou primeiro elemento se e somente se: ∀ b ∈ A ( a ⩽ b ) {\displaystyle \forall \ b\in A\left(a\leqslant b\right)} De maneira simétrica, a ∈ A {\displaystyle a\in A} é denominado máximo ou último elemento se e somente se: ∀ b ∈ A ( a ⩾ b ) {\displaystyle \forall \ b\in A\left(a\geqslant b\right)} O conjunto N {\displaystyle \mathbb {N} } tem mínimo, mas não tem máximo. Os conjuntos Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , Q {\displaystyle \mathbb {Q} } e R {\displaystyle \mathbb {R} } não têm nem máximo, nem mínimo. O intervalo
Minimal e maximal
Dada uma relação de ordem estrita < {\displaystyle <} sobre um conjunto A , {\displaystyle A,} um elemento a ∈ A {\displaystyle a\in A} é denominado minimal quando não existe outro elemento que seja menor que ele: ∄ x ∈ A , x < a {\displaystyle \nexists \ x\in A,\;\;x<a} Analogamente, um elemento de um conjunto parcialmente ordenado é maximal quando não existe outro elemento que seja maior que ele: ∄ x ∈ A , x > a {\displaystyle \nexists \ x\in A,\;\;x>a}
Cotas inferior (minorante) e superior (majorante)
Um elemento a ∈ A {\displaystyle a\in A} é uma cota inferior ou minorante de um subconjunto B ⊆ A {\displaystyle B\subseteq A} se e somente se: ∀ b ∈ B ( a ⩽ b ) {\displaystyle \forall \ b\in B\left(a\leqslant b\right)} Um elemento a ∈ A {\displaystyle a\in A} é uma cota superior ou majorante de um subconjunto B ⊆ A {\displaystyle B\subseteq A} se e somente se: ∀ b ∈ B ( a ⩾ b ) {\displaystyle \forall \ b\in B\left(a\geqslant b\right)} Às vezes os elementos acima são denominados de limite inferior e limite superior, mas este conceito não deve ser confundido com o de limite de uma sequência. Se consideramos o intervalo [ 0 , 1 ] ⊆ R , {\displaystyle \left[0,1\right]\subseteq \mathbb {R} ,} então qualquer x ⩽ 0 , x ∈ R {\displaystyle x\leqslant 0,x\in \mathbb {R} } é cota inferior do intervalo e qualquer x ⩾ 1 , x ∈ R {\displaystyle x\geqslant 1,x\in \mathbb {R} } é cota superior.
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Uma relação de ordem estrita R {\displaystyle R} sobre um conjunto A {\displaystyle A} é denominada uma boa ordem se e somente se todo subconjunto não vazio de A {\displaystyle A} tem primeiro elemento segundo R . {\displaystyle R.} Em símbolos, uma relação " < {\displaystyle <} " sobre A {\displaystyle A} é uma boa ordem se e somente se: Um conjunto com uma relação de boa ordem é denominado bem ordenado. Por exemplo, N {\displaystyle \mathbb {N} } é bem ordenado pela relação natural desse conjunto (ver Princípio da boa-ordenação), mas Z , {\displaystyle \mathbb {Z} ,} Q {\displaystyle \mathbb {Q} } e R {\displaystyle \mathbb {R} } não são, segundo as suas ordens naturais. O conceito de boa ordem é importante para definir matematicamente os números ordinais em teoria dos conjuntos. Uma boa ordem é sempre uma ordem linear, pois se para a , b ∈ A , a ≠ b {\displaystyle a,b\in A,a\neq b} consideramos o conjunto { a , b } , {\displaystyle \{a,b\},} ele tem primeiro elemento, de modo que ou a < b , {\displaystyle a<b,} ou b < a . {\displaystyle b<a.}
