Comprimento do arco

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Escolher um finito número de pontos ao longo de uma curva e conectar cada um destes pontos com o próximo com uma linha reta. A soma do comprimento de cada um destes segmentos é o comprimento de um caminho polinomial. Definição: O comprimento de uma curva é o menor número tal que o comprimento dos caminhos polinomiais nunca pode ultrapassar, não importando quanto juntos sejam colocados os pontos finais do segmentos. Na linguagem matemática, o comprimento do arco é o supremo de todos comprimentos de um dado caminho polinomial.

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Considere uma função f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} tal que f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} e f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)\,} (isto é a derivada em relação a x) são contínuas em [a, b] . O comprimento s de parte do gráfico de f entre x = a e x = b é dado pela fórmula: a qual se deriva da fórmula da distância aproximada do comprimento do arco composto de muitos pequenos segmentos de reta. Como o número de segmentos tende para o infinito (pelo uso da integral) esta aproximação se torna um valor exato. Se a curva é definida parametricamente por x = X ( t ) {\displaystyle x=X(t)\,} e y = Y ( t ) {\displaystyle y=Y(t)\,} , então o comprimento do arco entre t = a e t = b é Deve-se notar que a definição acima só pode ser considerada rigorosa caso se prove que duas parametrizações distintas geram o mesmo comprimento de arco.

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Seja a = t 0 < t 1 < t 2 < . . . < t n = b {\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<t_{2}<...<t_{n}=b} uma partição equidistante do domínio com Δ t = t i − t i − 1 {\displaystyle \Delta t=t_{i}-t_{i-1}} e P i = r → ( t i ) {\displaystyle P_{i}={\overrightarrow {r}}(t_{i})} , i = 0 , 1 , . . . n {\displaystyle i=0,1,...n} , pontos sobre a curva. Uma possível aproximação para o comprimento da curva é dado pelo comprimento da poligonal. Observe que o comprimento do segmento P i − 1 P i {\displaystyle P_{i-1}P_{i}} é dado por | | P i − P i − 1 | | {\displaystyle ||P_{i}-P_{i-1}||} , logo, a aproximação para o comprimento da curva é L n = ∑ i = 1 n | | P i − P i − 1 | | {\displaystyle L_{n}=\sum _{i=1}^{n}||P_{i}-P_{i-1}||} = ∑ i = 1 n ( x i − x i − 1 ) 2 + ( y i − y i − 1 ) 2 + ( z i − z i − 1 ) 2 {\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(y_{i}-y_{i-1})^{2}+(z_{i}-z_{i-1})^{2}}}} = ∑ i = 1 n ( x i − x i − 1 Δ t ) 2 + ( y i − y i − 1 Δ t ) 2 + ( z i − z i − 1 Δ t ) 2 Δ t {\displaystyle =\textstyle \sum _{i=1}^{n}{\sqrt {\left({\frac {x_{i}-x_{i-1}}{\Delta t}}\right)^{2}+\left({\frac {y_{i}-y_{i-1}}{\Delta t}}\right)^{2}+\left({\frac {z_{i}-z_{i-1}}{\Delta t}}\right)^{2}}}\Delta t}