Conjunto de medida zero
Em matemática, o conceito de conjunto de medida zero ou nula é uma formalização da ideia de insignificante.
Seja Z {\displaystyle Z} um conjunto qualquer na reta. Dizemos que { B n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{B_{n}\}_{n=1}^{\infty }} é uma cobertura de bolas abertas para Z {\displaystyle Z} se satisfizer as hipóteses: O comprimento da cobertura { B n } {\displaystyle \{B_{n}\}} é definido como: ∑ n = 1 ∞ l ( B n ) = ∑ n = 1 ∞ ( b n − a n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }l(B_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-a_{n})} Note-se que não é necessário que as bolas sejam disjuntas. Um conjunto Z {\displaystyle Z} é dito ter medida zero se para todo ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} , existir uma cobertura de bolas abertas de comprimento menor ou igual a ε {\displaystyle \varepsilon } .
Exemplo
O conjunto dos números inteiros, Z {\displaystyle \mathbb {Z} } tem medida zero. Sabe-se que Z {\displaystyle \mathbb {Z} } é enumerável, portanto pode ser escrito como: Z = { x j } j = 1 ∞ {\displaystyle \mathbb {Z} =\{x_{j}\}_{j=1}^{\infty }} Fixe um ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} arbitrário e considere as bolas: B n = ( x j − ε 2 − n − 1 , x j + ε 2 − n − 1 ) {\displaystyle B_{n}=(x_{j}-\varepsilon 2^{-n-1},x_{j}+\varepsilon 2^{-n-1})} l ( B n ) = 2 ε ⋅ 2 − n − 1 = ε ⋅ 2 − n {\displaystyle l(B_{n})=2\varepsilon \cdot 2^{-n-1}=\varepsilon \cdot 2^{-n}} E o comprimento da cobertura { B n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{B_{n}\}_{n=1}^{\infty }} é: ∑ n = 1 ∞ l ( B n ) = ∑ n = 1 ∞ ε ⋅ 2 − n = ε ∑ n = 1 ∞ 2 − n = ε {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }l(B_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon \cdot 2^{-n}=\varepsilon \sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}=\varepsilon }
