Multiconjunto
Em matemática, um multiconjunto é uma modificação do conceito de um conjunto que, diferentemente de um conjunto, permite várias instâncias para cada um de seus elementos. O número de instâncias fornecidas para cada elemento é chamado de multiplicidade.
Um multiconjunto é definido como um par ( A , m ) {\displaystyle (A,m)} , onde A {\displaystyle A} é um conjunto qualquer, e m : A → N {\displaystyle m:A\rightarrow \mathbb {N} } a função que associa a cada elemento de A um número natural, onde consideramos a definição de números naturais que não contêm o zero, ou seja N = { 1 , 2 , 3 , . . . } {\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,...\}} . A multiplicidade de um elemento a é denotada por m ( a ) {\displaystyle m(a)} . Representamos um multiconjunto com a mesma notação que usamos para conjuntos, mas citamos m ( i ) {\displaystyle m(i)} vezes um elemento i do multiconjunto. Por exemplo, o multiconjunto M com o par (A, m), tal que A = { a , b , c , d , e } {\displaystyle A=\{a,b,c,d,e\}} e m(a)=1, m(b)=1, m(c)=2, m(d)=1, m(e)=2, é representado por M = { a , b , c , c , d , e , e } {\displaystyle M=\{a,b,c,c,d,e,e\}} , melhor < a,b,c,c,d,e,e> . A ordem dos elementos, assim como nos conjuntos, não importa.
Multiconjuntos aparecem naturalmente em vários contextos:
A cardinalidade de um multiconjunto M = ( A , m ) {\displaystyle M=(A,m)} é definida como: ∑ i ∈ A m ( i ) {\displaystyle \sum _{i\in A}m(i)} .
Em análise combinatória, um multiconjunto é o resultado de uma seleção com repetição, em que a ordem não é importante. O número de multiconjuntos de cardinalidade k, a partir de n elementos, pode ser representado por ( ( n k ) ) {\displaystyle \textstyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)} , uma notação parecida a usada para os coeficientes binomiais, ( n k ) {\displaystyle \textstyle {n \choose k}} . Este número é dado pela fórmula seguinte: 1-Quantos tipos de dominós existem com números de 0 a 7? É só selecionar dois dos 8 números possíveis. Neste caso os espaços nos dominós são iguais. 2-De quantas formas podemos distribuir 18 bolas iguais em 4 caixas diferentes? Podemos considerar a seqüência seguinte: Que é o mesmo que achar o número de soluções para a equação: Equivale a escolher 18 caixas entre 4, já que pode repetir. Então Você também pode utilizar a técnica dos *'s (asteriscos) e | (palitos), sendo neste caso: X 4 + X 3 + X 2 + X 1 = 18 {\displaystyle X4+X3+X2+X1=18} : 18 asteriscos e 3 palitos: Assim, temos a combinação direta de asteriscos e palitos:: ( ∗ + | ) ! ∗ ! | ! = 1330 {\displaystyle {\frac {(*+|)!}{*!|!}}=1330}
