Soma direta
O conceito de soma direta é recorrente em álgebra, se aplicando a diversas estruturas algébricas, como grupos, anéis e espaços vetoriais. A soma direta é o que, em teoria das categorias, é conhecido por coproduto de estruturas algébricas.
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Sejam V {\displaystyle V} e W {\displaystyle W} dois espaços vetoriais sobre um corpo K {\displaystyle K} tais que V ∩ W = { 0 } {\displaystyle V\cap W=\left\{0\right\}} . O espaço vetorial V ⊕ W , {\displaystyle V\oplus W,} resultante da soma direta entre V {\displaystyle V} e W , {\displaystyle W,} é definido da seguinte forma: V ⊕ W = { v → + w → | v → ∈ V , w → ∈ W } {\displaystyle V\oplus W=\left\{{\vec {v}}+{\vec {w}}\,|\,{\vec {v}}\in V,{\vec {w}}\in W\right\}}
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Dada uma família F = { G i } i ∈ I {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{G_{i}\}_{i\in I}} de grupos abelianos, definimos a soma direta de F , {\displaystyle {\mathcal {F}},} denotada por ⊕ i ∈ I G i , {\displaystyle \oplus _{i\in I}G_{i},} como sendo o grupo cujos elementos são I {\displaystyle I} -uplas ( x i ) i ∈ I {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} cujas entradas são todas nulas, a menos um de um subconjunto finito de índices em I , {\displaystyle I,} e cuja soma entre ( x i ) i ∈ I , ( y i ) i ∈ I ∈ ⊕ i ∈ I S i {\displaystyle (x_{i})_{i\in I},(y_{i})_{i\in I}\in \oplus _{i\in I}S_{i}} é ( x i + y i ) i ∈ I . {\displaystyle (x_{i}+y_{i})_{i\in I}.} Utilizamos aqui a notação aditiva de grupos.
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A soma direta de dois grupos G e H é (pela definição de coproduto) o grupo mais genérico contendo subgrupos isomórficos a G e a H, e em que cada elemento é o produto (finito) de elementos destes subgrupos. Identificando G e H com os subgrupos da soma direta, temos, por exemplo, que se x for um elemento de G e y um elemento de H, x2y10x-1yx-3 será um elemento da soma direta. De modo geral, qualquer elemento da soma direta é uma expressão da forma: g 1 k 1 h 2 k 2 g 3 k 3 … h n k n {\displaystyle g_{1}^{k_{1}}h_{2}^{k_{2}}g_{3}^{k_{3}}\ldots h_{n}^{k_{n}}} em que os gs pertencem ao subgrupo isomórfico a G, os hs ao subgrupo isomórfico a H. Esta representação não é única, pois alguns g e h podem ser o elemento neutro da soma direta.
