Diagrama comutativo
Na matemática, e especialmente na teoria das categorias, um diagrama comutativo é um diagrama de objetos e morfismos (setas) tal que todos os seus caminhos com o mesmo inicio e fim levam ao mesmo resultado por composição. Os diagramas comutativos cumprem o mesmo papel para a teoria das categorias que as equações cumprem para a álgebra.
No seguinte diagrama exemplificando o teorema de isomorfismo, comutatividade significa f = f ~ ∘ π {\displaystyle f={\tilde {f}}\circ \pi } : De seguida está um quadrado comutativo genérico no qual h ∘ f = k ∘ g {\displaystyle h\circ f=k\circ g} :
Símbolos
Em textos de álgebra, o tipo de morfismo pode ser declarado com diferentes utilizações para as setas: monomorfismo com ↪ {\displaystyle \hookrightarrow } , epimorfismo com ↠ {\displaystyle \twoheadrightarrow } , e isomorfismo com → ∼ {\displaystyle {\overset {\sim }{\rightarrow }}} . A seta tracejada significa, normalmente, a noção de que o morfismo indicado existe desde que o resto do diagrama se mantenha coerente. Isto é comum o suficiente para que textos sobre a matéria careçam deste esclarecimento sobre os significados das diferentes setas.
A comutatividade faz sentido para um polígono de qualquer número finito de lados (1 ou 2 inclusive), e um diagrama é comutativo se cada subdiagrama do polígono é comutativo.
Procura por diagrama (sugere-se para português do inglês diagram chasing) é usado especialmente na álgebra homológica. Dado um diagrama comutativo, a prova por procura por diagrama envolve a utilização das propriedades do diagrama, tais como mapeamento injetivo, sobrejetivo, ou sequências exatas. Este silogismo é construído com o aspecto gráfico do diagrama sendo apenas um auxílio. Parte-se do princípio que se procura (persegue) elementos à volta do diagrama até que o elemento ou resultado desejado seja construído ou verificado. Exemplos de provas por procura por diagrama incluem típicamente o lema dos cinco (five lemma), o lema da cobra (snake lemma), o lema zig-zag (zig-zag lemma), e o lema dos nove (nine lemma).
Um diagrama comutativo numa categoria C pode ser interpretado como functor a partir de um índice J para C; podemos chamar o functor como um diagrama. Mais formalmente, um diagrama comutativo é uma visualização do diagrama indexado por um conjunto parcialmente ordenado: Por outro lado, dado um diagrama comutativo, define-se um conjunto parcialmente ordenado: No entanto, nem todos os diagrama são comutativos: mais simplesmente, o diagrama de um objecto com um endomorfismo ( f : X → X {\displaystyle f\colon X\to X} ), ou com duas setas paralelas ( ∙ ⇉ ∙ {\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet } , isto é, f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} , por chamada de quiver ou digrafo), como é utilizado na definição de equalizador nao precisa ser comutativo. Para além disso, os diagramas podem ser confusos ou impossíveis de desenhar quando o número de objectos ou morfismos é extenso (ou mesmo infinito).
