Grupo circular
O grupo circular (também chamado grupo do círculo, círculo topológico ou denotado por T ou S1) é um objeto fundamental em diversas áreas da matemática, como topologia algébrica, análise harmônica e teoria de grupos de Lie. Trata-se do grupo aditivo dos números reais módulo os números inteiros, R/Z, ou equivalentemente do grupo multiplicativo dos números complexos de módulo unitário (o círculo unitário no plano complexo).
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O grupo circular pode ser definido de duas formas equivalentes (isomorfas): Existe um único isomorfismo contínuo (salvo por automorfismo) entre essas duas realizações. Esse isomorfismo está intimamente ligado à constante π.
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Uma definição sofisticada e independente de geometria euclidiana da constante π utiliza o grupo circular: Existe um único isomorfismo contínuo (salvo automorfismo) do grupo R/Z (grupo circular aditivo) para o grupo multiplicativo de números complexos de módulo unitário. O número π é definido como metade da magnitude da derivada desse homomorfismo (ou, equivalentemente, metade da magnitude da derivada de Radon–Nikodym associada à medida de Haar). Isso implica que π surge naturalmente da estrutura topológica e de grupo do círculo, sem recorrer diretamente à razão circunferência/diâmetro.
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Os caracteres do grupo circular T = R/Z são os homomorfismos contínuos de T para U(1). Eles são dados pela fórmula: Esses caracteres formam uma base ortonormal (no sentido de L²) para a decomposição em série de Fourier de funções periódicas definidas no grupo circular. A constante 2π aparece como o "período natural" associado à medida de Haar normalizada nesse grupo.
